高中数学 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第1课时) 教学设计.docx

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5.4.2正弦函数和余弦函数的性质（第一课时）

一、课时教学内容

本节的主要内容是根据正弦函数、余弦函数的图象，由先前学习函数的经验，通过函数图像，观察总结函数性质，并应用函数性质解决问题。本课时学习周期函数的定义及正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性。

二、课时教学目标

（1）了解周期函数、周期、最小正周期的含义．

（2）掌握y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期性和奇偶性．

（3）会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．

（4）通过作正弦函数与余弦函数的性质探究，培养学生数形结合和类比的思想方法，发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

三、教学重点与难点

重点：周期函数的定义及y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期性、奇偶性．

难点：求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．

四、教学方法：引导、启发、探究、归纳

五、课前准备

PPT课件

六、教学过程设计

（一）创设问题情境

提出问题

前一节学习了正弦、余弦函数图象，类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？

问题探究

根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的．

观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔2π个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式sinx+2kπ=sinx（k∈Z）中得到反映，即自变量x

设计意图：通过对函数学习的回顾，提出研究正弦与余弦函数性质的方法，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。

（二）分析归纳，形成定义

1.周期性：

一般地，对于函数fx,如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fx+T=

周期函数的周期不止一个．例如，２π，４π，６π，…以及－２π，－４π，－６π，…都是正弦函数的周期．事实上?k∈Z，且k?≠０，常数2

如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f

根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数，2k?π（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．类似地，余弦函数也是周期函数，2k?π（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２

（三）初步应用深化理解

例．求下列三角函数的周期：

(1)y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos2x，x∈R；（3）y=2sin12

分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式fx+T

对于（２），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos2(x+T)=cos2x，x

对于（３），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sin12(x+T)?π6

【解】(1)QUOTE?k∈Z因为3sin(x＋2π)＝3sinx，

由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π.

(2)令，，且的周期为2π.

因为cos(z＋2π)＝cosz，于是cos(2x＋2π)＝cos2x，

所以cos2(x＋π)＝cos2x，

由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.

令z=12x?π6,由x∈R

即，2sinz+2π

所以，2sin

由周期函数的定义知，原函数的周期为4π.

设计意图：通过用定义法求函数的周期，巩固对周期性的理解，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养。

思考：回顾本例的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？

预设答案：函数的周期与解析式中x的系数有关。

探究与发现：函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期公式．

巩固训练：

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）若sin(60°＋60°)＝sin60°，则60°为正弦函数y＝sinx的一个周期．()

（2）若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．()

（3）周期函数都有最小正周期.（）

1．【解析】(1)×.举反例，sin(40°＋60°)≠sin40°，所以60°不是正弦函数y＝sinx的一个周期．(2)√.根据周期函数的定义知，该说法正确．

(3)×.常函数是周期函数但没有最小正周期．

【答案】(1)×(2)√(3)×

2.求下列函数的周期：

(1)y＝sin12x；(2)y＝2sin；(3)y＝|cosx|，x∈R

【分析】可以根据周期函数的定义