新高考数学一轮复习讲练测第2章第04讲 指数与指数函数（讲义）（解析版）.doc

第04讲指数与指数函数

1、指数及指数运算

(1)根式的定义：

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．

(2)根式的性质：

当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.

当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数幂的分类

①正整数指数幂；②零指数幂；

③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．

(5)有理数指数幂的性质

①，，；②，，；

③，，；④，，．

2、指数函数

图象

性质

①定义域，值域

②，即时，，图象都经过点

③，即时，等于底数

④在定义域上是单调减函数

在定义域上是单调增函数

⑤时，；时，

时，；时，

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

【解题方法总结】

1、指数函数常用技巧

(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．

(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．

当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．

(3)指数函数与的图象关于轴对称．

【典例例题】

题型一：指数运算及指数方程、指数不等式

【例1】（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）（

）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】.

故选：B.

【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（

）

A．设则 B．若，则

C．若，则 D．

【答案】B

【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误；

对于B，，故，选项B正确；

对于C，，，因为，所以，选项C错误；

对于D，，选项D错误.

故选：B．

【对点训练2】（2023·全国·高三专题练习）（

）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】.

故选：B

【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（

）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】D

【解析】令，则方程可化为，甲写错了常数b，

所以和是方程的两根，所以，

乙写错了常数c，所以1和2是方程的两根，所以，

则可得方程，解得，

所以原方程的根是或

故选：D

【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（

）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】方程有解，

有解，

令，

则可化为有正根，

则在有解，又当时，

所以，

故选：．

【对点训练5】（2023·上海青浦·统考一模）不等式的解集为______．

【答案】

【解析】函数在R上单调递增，则，

即，解得，

所以原不等式的解集为.

故答案为：

【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________.

【答案】

【解析】由，可得.

令，

因为均为上单调递减函数

则在上单调逆减，且，

，

故不等式的解集为.

故答案为：.

【解题总结】

利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.

题型二：指数函数的图像及性质

【例2】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能为（

）

A．B．C． D．

【答案】ABD

【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项.当时，，图象A满足；

当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；

当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；

图象C过点，此时，故C不成立.

故选：ABD

【对点训练7】（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为R，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】∵的定义域为R，

∴0对任意x∈R恒成立，

即恒成立，

即对任意恒成立，

，则．

故答案为．

【对点训练8】（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为_______．

【答案】

【解析】令，∵，∴，

∴，

又关于对称，开口向上，所以在上单调递减，在上单调递增，且，

时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，

.

故答案为：.

【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在内的最大值是最小值的两倍，且，则______

【答案】或

【解析】当时，函数在内单调递增，

此时函数的最大值为，最小值为，

由题意得，解得，则，

此时；

当时，函数在内单调递减，

此时函数的最大值为，最小值为，

由题意得，解得，则，

此时．

故答案为：或.

【对点训练10】（2023·全国·高三专题练习）函数是