暑期新高一数学预科讲义.docx

第1讲

集 合

集合的概念与表示

考点1：集合的概念

⑴集合的含义：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．

如：现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素．

⑵一般情况下，集合用英文大写字母A,B,C, 表示．元素用英文小写字母a,b,c, 表示；

⑶不含任何元素的集合叫做空集，记作?．

元素与集合的关系：

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作a?A；

如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A，记作a?A．

某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法：

自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

N N?或N? Z Q R

练习1：用?，?填空．

1 2

①?1 N；②?3 N?；③ Z；④3.14 Q；⑤ 5 Q；⑥? R；⑦π R；

2 2

元素的性质

①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可．

②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个．

③无序性：集合中的元素是无次序关系的．

第1讲·目标班· 1

【例1】⑴ 若x?2，x2，1是一个集合中的三个元素，实数x应满足什么条件？

⑵ 设x?R，将对象x，?x， x2，?3x3，最多时有（ ）

?4x4，2x4组成集合M，则集合M中元素

A．3个 B．4个

⑶ 下列叙述中正确的个数是（

C．5个

）

D．6个

①若?a?Z，则a?Z；②若?a?N，则a?N；

③a?Z，若?a?N，则a?N；④a?Z，若a?N，则?a?N．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

考点2：集合的表示法——列举法与描述法

集合的表示法

⑴列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{}”内的表示集合的方法．

例如：{1，2，3，4，5}，{1，2，3，4，5， }．

【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律的无限集，如不大于100的自然数，可以表示为{0，1，2，3， ，100}，自然数集可以表示成{0，1，2，3，}．

有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程x2?x?6?0的解集可以写成

{2，?3}；直线y?2x与直线y?x2的交点集合可以写成{(0，0)，(2，4)}．

⑵描述法（又称特征性质描述法）：

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{x?A|p(x)}，p(x)称为集合的特征性质，x称为集合的代表元素．A为x的范围，有时也写为{x|p(x)，x?A}．

例如：大于3的所有整数用描述法表示为{x?Z|x?3}．

方程x2?x?6?0的实根用描述法表示为{x?R|x2?x?6?0}．

【注意】

①描述法给出了一个客观的标准，用{| }表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点．

如：{x是山峰｜x的高度在3000米以上}；{x是人物角色|x是《红楼梦》中出现的人}；

{x是人|x是《西游记》中出现的人}，老师讲到此处时，可以调节一下课堂气氛，问一下学生：孙悟空在这个集合中吗？不在，他不是人；猪八戒在吗？不在，他也不是人．李世民在吗？在；天篷元帅在吗？……

{x?R|x≥3}，说明集合描述的是实数x，这个实数具有大于等于3的特点．

若元素范围为R，在不致发生误解时，x?R也可以省略，直接写成{x|x≥3}．但对于集合{x?Z|x≥3}，则x?Z一定不能省略．

②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为(x，y)．

如：{(x，y)|y?x2，x?R}，说明集合是点集，点(x，y)满足y?x2，故集合中的点在抛物线y?x2

上，即此集合表示抛物线y?x2上所有的点．

③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即{x|x?2}与{y|y?2}表示的是同一个集合．字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点．就相当于不管你怎么改名字，你还是你．

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练习2：将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：