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【初中竞赛资料】圆的几个重要定理

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【初中竞赛资料】圆的几个重要定理

第

第二讲

圆的几个重要定理

中考要求

中考要求

内容

基本要求

略高要求

较高要求

圆的有关概念

理解圆及其有关概念

会过不在同一直线上的三点作圆;能利用圆的有关概念解决简单问题

圆的性质

知道圆的对称性,了解弧、弦、圆心角的关系

能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题

能运用圆的性质解决有关问题

圆周角

了解圆周角与圆心角的关系;了解直径所对的圆周角是直角

会求圆周角的度数,能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题

能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题

知识点睛

知识点睛

一、圆周角定理

圆心角和圆周角

1．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为等份,每一份的弧对应的圆心角,我们也称这样的弧为的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．

2．圆周角：顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

3．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等．

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角,的圆周角所对的弦是直径．

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形．

4．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等．

推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等．

圆是平面几何中的一个重要内容．由于圆与直线型图形可组合成一些复杂的几何问题,所以它经常出现在数学竞赛中．

圆的基本性质有：

⑴直径所对的圆周角是直角．

⑵同弧所对的圆周角相等．

⑶经过圆心及一弦中点的直线垂直平分该弦．

二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,其它各组量都相等.

三、相交弦定理(选讲)

相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．

如图,弦和交于内一点,则．

相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．

重、难点

重、难点

教学重点：圆周角的概念和圆周角定理

教学难点：圆周角定理的证明中由一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想．

例题精讲

例题精讲

一、圆周角定理

⑴(08龙岩)如图,量角器外沿上有两点,它们的度数分别是,则的度数为_________．

⑵如图,的三个顶点都在上,,则的半径为______．

(年威海中考题)如图,是的直径,点,,都在上,若,求．

(08年济宁改编)如图,四边形中,,若,则_________,__________．

如图,为的直径,是的弦,的延长线交于点,若,求的度数．

(07重庆)已知,如图：为的直径,,交于点,交于点,．给出以下五个结论：①,;②;③;④劣弧是劣弧的倍;⑤．其中正确结论的序号是．

如图是半圆的直径,点在弧上,且平分,已知,求的长．

(08乌鲁木齐)如图所示的半圆中,是直径,且,则的值是________．

⑴(09河北)如下左图,四个边长为的小正方形拼成一个大正方形,是小正方形顶点,的半径为,是上的点,且位于右上方的小正方形内,则等于__________．

⑵(09四川成都)如上右图,内接于,,为的直径,,那么_________．

⑶(09山东泰安)的半径为,是的一条弦,且,则弦所对圆周角的度数为_____________．

如图,点是上的三点,．

⑴求证：平分;

⑵过点作于点,交于点．若,求的长．

⑴如图,是的直径,,设,则_____________．

⑵如图,是的直径,弦交于点,弦交于点,且．若,则___________．

⑶已知：如图,是的直径,点是半圆上一个三等分点,点是的中点,是上一动点,的半径为,则的最小值是_____________．

已知如图,的外角平分线交其外接圆于,连接、,求证：．

二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

如图所示在中,,那么()

与的大小关系不能确定

如图,过的直径上两点,分别作弦,若．求证：⑴;⑵．

已知是的弦,平分交于,弦交于,求证：平分．

(2008年广州市数学中考试题)如图,射线交一圆于点,射线交该圆于点、,且．

⑴求证：

⑵分别作线段的垂直平分线与的平分线,两线交于点．求证：平分．

三、相交弦定理(选讲)

相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．

如图,弦和交于内一点,则．

相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中