释疑解难 无穷级数.docx

释疑解难 无穷级数问题1 试判断下列命题是否正确？

（1）若limu

n?? n

?0，则??u

n

n?1

必定收敛。

（2）设??

u ，??

n

v是正项级数，u ?cv(n?1,2,

n n n

)，c为大于零的常数，则??u ，

n

??

n?1

n?1 n?1

v同敛散。

n

答：均不正确。

n?1

limu

n?? n

?0是级数收敛的必要条件，不能判断??u

n

n?1

的收敛，但它的逆否命题成

立，可以用limu

n?? n

?0来判断??u

n

n?1

的发散，即若limu

n?? n

?0，则??u

n

n?1

发散。

反例，考虑u

n

?1,v ?1。

n2 n n

问题2 下列运算是否正确？

若??

a,??

n

均收敛，且对一切自然数n有a

n n

?c ?b

n n

，证明：??

也收敛。

n

n?1 n?1 n?1

证明： a

n

?c ?b

n n

(n?1,2, )且??

a,??

n

均收敛，由比较判别法知??

n

收敛。

n

答：不正确。

n?1 n?1 n?1

因为证明中使用了比较判别法，而比较判别法只适用于正项级数，题目中并未指出级数是正项级数，正确方法如下：

证明：由条件a

n

?c ?b

n n

(n?1,2,

)可得 b?a

n n

?c ?a

n n

?0，故??(b

n

n?1

a)与

n

??

(c ?a)均为正项级数。??

n n

a 与??b收敛，从而??

n n

(b?a

n n

)收敛，由正项级数的比

n?1

n?1

n?1

n?1

较判别法，??

(c ?a

n n

)也收敛，而c

n

??c

n

a??a

n n

，所以??

c ???

n

??c

?n

?

a??a

n n

??也

收敛。

n?1

?? ??

n?1 n?1

a b ??

问题3 设

a, b 均为正项级数，满足 n?1? n?1，(n?1,2,3,

)，且级数 b

n n a b

n?1 n?1 n n

n

n?1

收敛，证明??a

n

n?1

??

收敛。下面证明过程正确吗？

b

a b a

证明：

b收敛，? lim

n?1

?1，又 n?1? n?1，?lim n?1?1

n

n?1

n??b a b

n n n

n??a

n

由比值判别法知，??a

n

n?1

收敛。

答：不正确。

?? b

因为比值判别法的逆命题不成立，即根据正项级数

b收敛，不能推出lim

n?1存在

?? 1

n

n?1

b

n??b

n

b

并且小于1的结论。（例如，

a

n?1

收敛，但lim

n2 n??

n?1

b

n

?1），同时由lim

n??

n?1

b

n

存在，也不能

推出lim

n?1存在的结论。

n??a

n

正确证明如下：

a

a由 n?1

a

? n?1

，推出 n?1? n?

? 1，于是a

? 1b

，n?1,2,

a abaa b b b b

a a

b

a

n n n?1 n 1

n b n

1

又??b

n

n?1

收敛，根据正项级数的比较判别法知??a

n

n?1

收敛。

问题4 幂级数??

n?0

a?x?x?n的收敛域具有什么特点？

n 0

答：1．幂级数的收敛域不是空集，至少x为收敛点。

0

2．幂级数的收敛域是以x 为中心的对称开区间加收敛的端点，区间端点为

0

x?r,x?r，收敛域可能是闭区间，开区间或半开区间，也可能是实数域R（收敛半径

0 0

r???）或孤立点?x?。

0

3．由阿贝尔定理，有若幂级数在x?c处收敛，则在x?x

0

?c即?x

0

c,x

0

c?内必

绝对收敛，而若在x?a处发散，则在?x

0

a,x

0

a?之外必发散。

问题5 设函数f(x)在x0点的某一邻域内具有任意阶导数，试问f(x)是否总能在x0点展开为泰勒级数？

答：首先必须明确两个概念：

f(x)在x

0

点的泰勒级数是指幂级数??

n?0

1f(n)(x

n! 0

)(x?x

0

)n；

f(x)在x

0

点能展开为泰勒级数是指存在x