高等数学教程　下册　第4版 课件 10.8 方向导数与梯度.ppt

10.8方向导数与梯度10.8.1方向导数定义10.5(方向导数)设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义,为单位向量.如果极限存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿方向的方向导数,记为或如果函数f(x,y)在区域D内任何一点(x,y)处沿方向的方向导数都存在,则为D内的一个函数,称为f(x,y)沿方向的方向导函数(简称方向导数).偏导数分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线的变化率.的方向导数存在,同理,函数的方向导数存在,存在时,当函数函数函数类似,可定义三元函数的方向导数三元函数在点的方向导数为其中沿着方向证由于函数可微,定理10.12处可微,且则其中其中则函数故特别地,取类似地,如果三元函数处可微,且其中例1考虑函数定点P0(3,1),P1(2,3).解求函数在P0沿方向的方向导数.解令故其方向余弦为例2设处指向外侧的法向量,求函数故解(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?并问在怎样的方向上此方向导数有例3求函数故(1)方向导数达到最大值方向导数达到最小值方向导数等于0.和(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?问在怎样的方向上此方向导数有(2)(3)方向导数最大或最小?10.8.2梯度的概念问题:函数沿什么方向的方向导数为方向导数取最大值方向导数取最小值其中而方向一致时,方向相反时,定义10.6记作即处的梯度,则梯度又可记为为函数称向量引用记号称为奈布拉算子,或称为向量微分算子或哈密顿算子,结论:函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.梯度的模为沿着方向,函数减少得最快.在几何上被平面所得曲线在xOy面上投影是一条平面曲线称为曲面的等高线表示一个曲面,所截得等高线两端微分,得