集合论的诞生.ppt

关于集合论的诞生第九章分析的严格化第三节集合论的诞生第2页,共19页，星期六，2024年，5月小学数学新课标要求：结合有关知识的教学，适当渗透集合、函数等数学思想方法，以加深对基础知识的理解。第3页,共19页，星期六，2024年，5月认识数字1～5认识数字01、小学数学中的集合第4页,共19页，星期六，2024年，5月元素与集合间的关系集合与集合间的关系维恩图第5页,共19页，星期六，2024年，5月交集第6页,共19页，星期六，2024年，5月一一对应第7页,共19页，星期六，2024年，5月2、康托的一一对应柏拉图——实无限：“全体自然数”是存在的，因为每个自然数都是可以数到的；既然每个都存在，为什么“全体”就不存在呢？亚里士多德——潜无限：自然数的产生是个无限无尽的过程，这个过程永不结束，因而无法得到自然数的全体。第8页,共19页，星期六，2024年，5月我必须最强烈地反对你使用无穷大作为某种完善的东西，因为这在数学上是从来不允许的。无穷大只不过是一种讲话方式，意味着一种极限……——高斯在1831年给舒马赫的信在1638年出版的《两门新科学的对话》一书中，伽利略把全体自然数与它们的平方一一对应起来：第9页,共19页，星期六，2024年，5月1845年，康托出生在俄国的圣彼得堡，后来移居德国。1867年，他在柏林大学得到博士学位。他曾经发表过一篇有关实数定义的论文，用收敛的有理数给出了无理数的定义。“一一对应”概念：给定两个集合A与B，假如有映射f:A→B，使得A中任何一个元素a都有一个元素b∈B与之对应，并且不同的a对应于不同的b，而且B中每个元素都被对应到，我们就称映射f:A→B是一个一一对应。集合的基数概念：给定两个集合A与B，如果A与B之间有一个一一对应，则称它们有相同的基数。集合定义：一个集合是若干确定的、可区别的事物的总体。第10页,共19页，星期六，2024年，5月例1在中世纪时有人注意到，把两个同心圆上的点用公共半径连起来，就构成两个圆上的点之间的一一对应关系。例2长度不相等的两条线段上的点集可以建立一一对应，即两个点集有相同的基数，与线段长度无关。第11页,共19页，星期六，2024年，5月例3单位线段上的点与半直线上的点一一对应。例4区间（0,1）的点集与实数集R有相同的基数。事实上，区间（0,1）和半圆周的点集可以建立一一对应，半圆周点集又能与整个数轴建立一一对应。第12页,共19页，星期六，2024年，5月3、可数集合康托把任何能与正整数集一一对应的集合称为可数集。换句话说，一个集合是可数集的充要条件是它的元素能够排成一个序列。1874年，康托获得了一个历史性的发现：尽管有理数具有稠密性，但它们是可数的。（0,1）区间中的所有有理数：第13页,共19页，星期六，2024年，5月全体有理数集合Q也是可数的。第14页,共19页，星期六，2024年，5月命题：区间（0,1）中的全体实数是不可数的。1873年，康托发现：实数集R是不可数的。4、不可数集合证明：我们可以用反证法证明。如果全体实数能排成一队，我们把所有0到1之间的实数都排出来：将γn都写成10进位无限小数。我们约定将其中的有理数也写成无限小数，比如0.9=0.8999…，这样保证每一个小数表示方式唯一。第15页,共19页，星期六，2024年，5月中没有把0到1之间的实数排完，这就推出了一个矛盾，故“（0,1）区间中的全体实数能排成一队”的假设不成立。第16页,共19页，星期六，2024年，5月1877年，康托又意外发现：单位正方形的点集与（0,1）区间的点集能够建立一一对应。分析：要做到这一点，需要先把区间（0,1）内的点都表示成无限小数，并规定这里出现的有限小数可以化成含有无穷个9的小数，如0.49=0.48999…。任取一点，比如说0，把这个数的奇数位、偶数位分别取出来，得到两个新数：0.3789…与0.5621…，以这两个数作为横坐标与纵坐标得到的点将落在单位正方形中。第17页,共19页，星期六，2024年，5月一般地，设区间（0,1）内的任意一点为它对应着单位正方形内的唯一的点反过来，如果任给单位正方形内的一个点只要把这个点的横坐标和纵坐标掺在一起，即令则必为（0,1）内的点。第18页,共19页，星期六，2024年，5月感谢大家观看第19页,共19页，星期六