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矩阵计算公式

矩阵是数学中用来描述多个变量间的关系的一个数学模型，它有

着广泛的应用。因此，矩阵计算公式也非常重要。本文将介绍矩阵计

算公式的相关知识，特别是关于矩阵的乘法，加法，减法，转置和逆

矩阵的计算公式。

一、矩阵的乘法

1.阵乘法定义

矩阵乘法是指将两个矩阵相乘，乘法结果是一个新的矩阵。乘法

定义如下：设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则它们的乘积是一个

m×p矩阵C，即：

C=A×B

其中，乘积C的每个元素Cij等于A矩阵的第i行和B矩阵的第

j列元素的乘积之和：

Cij=∑(1≤k≤n)AikBkj

2.阵乘法的特性

（1）矩阵乘法满足结合律：

A×（B×C）=(A×B）×C

（2）矩阵乘法不满足交换律：

A×B≠B×A

（3）矩阵乘法满足分配率：

A×（B+C）=A×B+A×C

二、矩阵加法与减法

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1.阵加法与减法定义

矩阵加法和减法是指将两个矩阵相加或者相减，加法减法结果是

一个新的矩阵。加法与减法的定义如下：设A为m×n矩阵，B为m

×n矩阵，则它们的和或差是一个m×n矩阵C，即：

C=A±B

其中，和或差C的每个元素Cij等于A的第i行第j列元素加上

B的第i行第j列元素：

Cij=Aij±Bij

2.阵加法与减法的特性

（1）矩阵加法和减法满足结合律：

A+(B+C)=(A+B)+C

（2）矩阵加法和减法满足交换律：

A+B=B+A

（3）矩阵加法和减法满足分配率：

A+(B-C)=A+B-C

三、矩阵的转置

1.阵转置的定义

矩阵转置是指将一个矩阵的行变成列，将列变成行。转置结果是

一个新的矩阵。转置定义如下：设A为m×n矩阵，A的转置是一个n

×m矩阵A，即：

A=A

其中，转置A的每个元素Aij等于A的第j行第i列元素：

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Aij=Aji

2.阵转置的特性

（1）矩阵转置满足结合律：

(A=A

（2）矩阵转置满足交换律：

A=A

（3）矩阵相乘的转置：

A×B=B×A

四、矩阵的逆

1.阵逆的定义

矩阵逆是指将一个矩阵A乘以另一个矩阵A-1，使得A*A-1=I，

其中I为单位矩阵，A-1就是矩阵A的逆。矩阵A的逆定义如下：设

A为n×n矩阵，A的逆为A-1，即：

A-1=A

其中，A-1的每个元素A-1ij等于A的增广矩阵的第i行逆序的

代数余子式：

A-1ij=(-1)i+j(Δi)

其中，Δi为矩阵A的代数余子式。

2.阵逆的特性

（1）矩阵逆满足结合律：

A-1×A=A×A-1=I

（2）矩阵逆满足交换律：

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A-1=A

（3）矩阵相乘的逆：

A-1×B-1=(AB)-1

综上所述，矩阵计算公式包括乘法、加法、减法、转置和逆矩阵，

各具特点。熟悉矩阵计算公式，可以让我们能够更加深入地理解矩阵，

更好地应用矩阵，以期达到更好的解决数学问题的目的。

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