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双曲线中焦点三角形的探索

基本条件：1：该三角形一边长为焦距2c，另两边的差的约对值为定值2a。

2：该三角形中由余弦定理得cos?FPF

?|PF|2?|PF

|2?|FF

1

1

|2结合定义，有

21 2

2

x2?y2?1

1

22|PF

2

1

|?|PF|

2

性质一、设若双曲线方程为a2 b2 （a＞0，b ＞0），

F1,F2分别为它的左右焦点，P为双曲线上任意 一点，则有：

若?FPF

若

1 2

??,

S

则FPF

则

1 2

?

?b2cot

2；特别地，当

?FPF

?90

时，有S

?b2。

1 2 FPF

证明：记|PF

1

|?r,|PF

2

|?r

，由双曲线的定义得

1 1 2 2

在△ FPF

中，由余弦定理得：

r2?r

2?2rr

cos?

1

配方得：(r

2

?r)2

2rr

2rr

cos??4c2.

1 2 12

1 2 12 12

即4a2

?2rr(1?cos?)?4c2.

12

由任意三角形的面积公式得：

?1 sin??

?

1 sin?

S ? rrsin??b2? ?b2?

2sin

cos

2 2?b2?cot

?FPF

212

1?cos? ??2

1 2 2sin2

2 .

特别地，当?＝90?时，cot

?

2＝1，所以S

FPF

?b2

1 2

y2?x2?1

同理可证，在双曲线

a2 b2

x2?y2

（a＞0，b＞0）中，公式仍然成立.

?1

例4 若P是双曲线64 36 上的一点，F、F

是其焦点，且?FPF

?60?，求△FPF

1 2 1 2 1 2

的面积.

x2?y2?1

解法一：在双曲线64 36 中，a?8,b?6,c?10,而??60?.记|PF|?r,|PF |?r.

1 1 2 2

点P在双曲线上，

12?由双曲线定义得：r?r

1

2

?2a?16.

在△FPF

中，由余弦定理得：r2?r

2?2rr

cos??(2c)2.

1 2 1 2 12

配方，得：(r?r)2?rr

?400

1 2 12

?400?rr ?256.从而rr ?144.

12 12

x2?y2?1

解法二：在双曲线64 36

中，b2?36，而??60?.

考题欣赏

（2010全国卷1理）(9)已知F、F

为双曲线C:x2?y2?1的左、右焦点，点P在C上，∠F

31 2

3

PF=600，则P到x轴的距离为(A)

2

(B) (C)

362 2

3

6

1

6(D)

6

【答案】B

（2010全国卷1文）（8）已知F、F为双曲线C:x2?y2?1的左、右焦点，点P在C上，∠

FPF

1 2

=600，则|PF

1

1 2

||PF |?

2

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

【答案】B【解析1】.由余弦定理得cos∠FPF

=|PF

|2?|PF

|2?|FF|2

|PF

1

||PF

2

|?4

1

1 2 2|PF

1

2 1 2

||PF|

2

【解析2】由焦点三角形面积公式得：

3121232?

3

1

2

1

2

3

2

S

?FPF

?b2cot ?12cot ?

2 2

? PFPF

1 2

sin600? PF PF

1 2

|PF

1

||PF

2

|?4

1 2

x2?y2?1

、12性质一推论：在双曲线a2 b2 （a＞0，b＞0）中，左右焦点分别为F

、

1

2

b2csin?

F，当点P是

?PFF??

S

?FPF

?a?ccos?

?PFF ?90?

双曲线左支上任意一点，若

1 2 ，则 1 2

.特别地，当 1 2 时，

S

?FPF

?b2c

a

?PFF?? ??

有 1 2

。当点P是双曲线右支上任意一点，若

1 2 （

双曲线渐