新高考数学一轮复习讲练测第1章第04讲 基本不等式及其应用（讲义）（解析版）.doc

第04讲基本不等式及其应用

1、基本不等式

如果SKIPIF10，那么SKIPIF10，当且仅当SKIPIF10时，等号成立．其中，SKIPIF10叫作SKIPIF10的算术平均数，SKIPIF10叫作SKIPIF10的几何平均数．即正数SKIPIF10的算术平均数不小于它们的几何平均数．

基本不等式1：若SKIPIF10SKIPIF10，则SKIPIF10，当且仅当SKIPIF10时取等号；

基本不等式2：若SKIPIF10SKIPIF10，则SKIPIF10（或SKIPIF10），当且仅当SKIPIF10时取等号．

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．

【解题方法总结】

1、几个重要的不等式

（1）SKIPIF10

（2）基本不等式：如果SKIPIF10，则SKIPIF10（当且仅当“SKIPIF10”时取“”）．

特例：SKIPIF10（SKIPIF10同号）．

（3）其他变形：

①SKIPIF10（沟通两和SKIPIF10与两平方和SKIPIF10的不等关系式）

②SKIPIF10（沟通两积SKIPIF10与两平方和SKIPIF10的不等关系式）

③SKIPIF10（沟通两积SKIPIF10与两和SKIPIF10的不等关系式）

④重要不等式串：SKIPIF10即

调和平均值SKIPIF10几何平均值SKIPIF10算数平均值SKIPIF10平方平均值（注意等号成立的条件）．

2、均值定理

已知SKIPIF10．

（1）如果SKIPIF10（定值），则SKIPIF10（当且仅当“SKIPIF10”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．

（2）如果SKIPIF10（定值），则SKIPIF10（当且仅当“SKIPIF10”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．

3、常见求最值模型

模型一：SKIPIF10，当且仅当SKIPIF10时等号成立；

模型二：SKIPIF10，当且仅当SKIPIF10时等号成立；

模型三：SKIPIF10，当且仅当SKIPIF10时等号成立；

模型四：SKIPIF10，当且仅当SKIPIF10时等号成立．

题型一：基本不等式及其应用

【解题方法总结】

熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．

例1．（2023·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形SKIPIF10中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设SKIPIF10，SKIPIF10，用该图形能证明的不等式为（????）．

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10

C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

【答案】C

【解析】由图知：SKIPIF10