上海市古美高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷.docxVIP

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上海市古美高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知角的终边经过点，则.

2．在中，若角A、B、C成等差数列，则角.

3．复数（是虚数单位）的虚部是.

4．在复平面上，复数，对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则.

5．若数列为等差数列，，，则.

6．在中，内角所对的边分别为，且满足，则角B的大小为.

7．已知复数，，，若为纯虚数，则的值是．

8．已知向量，，则在方向上的投影向量为.

9．已知数列的通项公式为，则.

10．已知复数满足，则的取值范围是.

11．若A、B、C三点共线，对任意一点O，有成立，则.

12．设函数在上恰有两个零点，则.

二、单选题

13．下列函数为奇函数，且在上是严格增函数的是（????）

A． B． C． D．

14．用数学归纳法证明等式，当时，等式左端应在的基础上加上（????）

A． B． C． D．

15．已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

16．已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

三、解答题

17．如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点.，设.

(1)用表示；

(2)如果，用向量的方法证明：.

18．已知等比数列的前项和为，若，公比.

(1)求数列的通项公式；

(2)求前项和：；

19．已知关于的实系数一元二次方程.

(1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值；

(2)若方程有两虚根，且，求的值.

20．已知向量，且，

(1)求函数在上的单调递减区间；

(2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，求面积的最大值.

21．对于集合且，定义且.集合A中的元素个数记为，当时，称集合A具有性质.

(1)判断集合是否具有性质，并说明理由；

(2)设集合，且具有性质，若中的所有元素能构成等差数列，求的值；

(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等差数列，问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.

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参考答案：

1．

【分析】根据正切定义即可得到答案.

【详解】由题意得.

故答案为：.

2．

【分析】利用等差数列的性质得出.

【详解】，.

故答案为：.

3．/

【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数,化简复数，即可求得虚部.

【详解】

复数的虚部是.

故答案为:.

4．1

【分析】由复数几何意义即可得A、B两点坐标，再由向量坐标形式的数量积公式即可求解.

【详解】由题得，

所以.

故答案为：1.

5．

【分析】利用等差数列的性质，根据条件求出公差，进而得解.

【详解】因为数列为等差数列，，

所以公差，则.

故答案为：.

6．

【分析】利用正弦定理边化角，即可求解.

【详解】由正弦定理原等式变形为：，

因为，所以，

所以，即，所以，

故答案为：.

7．

【分析】根据复数的乘法运算计算，再令其实部等于，虚部不等于，即可求解.

【详解】，

因为为纯虚数，

所以解得：，

故答案为：

8．

【分析】先依次求出、、，再结合投影向量公式即可计算求解.

【详解】由题意得，，

所以，

所以在方向上的投影向量为.

故答案为：.

9．/

【分析】根据已知条件结合等比数列的前n项和公式以及极限思想即可求解.

【详解】由题意得

，

因为，

所以.

故答案为：.

10．

【分析】根据复数模的几何意义，即可求得的取值范围.

【详解】解：表示在复平面上对应的点是单位圆上的点，

的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离，

最小距离为，最大距离为，

的取值范围为.

故答案为：.

11．或，.

【分析】根据三点共线，系数和为1的结论即可得到答案.

【详解】因为A、B、C三点共线，则，

则，则或，.

故答案为：或，.

12．或

【分析】先将函数化简成，将函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后数形结合根据函数的图象性质即可得解.

【详解】由题得，

因为