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1.1.1空间向量及其线性运算
(一)课时教学内容
类比平面向量的相关概念和线性运算,定义空间向量的相关概念,研究空间向量的线性运算.
(二)课时教学目标
1.理解空间向量的相关概念.
2.掌握空间向量的线性运算.
3.掌握空间向量共线、共面的充要条件及应用.
(三)教学重点与难点
1.教学重点:掌握空间向量的线性运算,掌握掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用.
2.教学难点:理解空间向量的概念,掌握空间向量共线、共面的充要条件及应用.
(四)教学过程设计
1.创设问题情境,提出研究对象
问题1:国庆期间,某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江,然后抵达东方明珠(B)游玩,如图1,游客的实际位移是什么?可以用什么数学概念来表示这个过程?
图1图2
如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景,如图2,那么他实际发生的位移是什么?又如何表示呢?
师生活动:学生不难用有向线段表示位移,并从中抽象出向量概念.
设计意图:以实际情境为背景,引入多个“向量”,为空间向量的引入作铺垫.
追问:这三个向量有什么特点?能用我们学过的平面向量知识来研究它们间的关系吗?
师生活动:在教师引导下,学生通过观察,分析三个向量的位置关系——不在同一平面内.
设计意图:感受研究空间向量的必要性,初步体会空间向量与平面向量的关系.
追问:你还记得我们是怎么学习平面向量的吗?请回忆一下平面向量的学习流程.
师生活动:学生回顾总结,并互相交流补充,教师概括平面向量的学习流程:
基本概念基本关系基本运算基本定理常见应用.
设计意图:为后续空间向量的学习指明方向.
2.类比平面向量,建构空间向量及相关概念
问题2:根据平面向量的概念、表示法、以及长度(模)、零向量、单位向量、相反向量、共线向量(平行向量)、相等向量等相关概念,你能否对应定义空间向量及相关概念?
师生活动:学生在平面向量的知识基础上,将平面向量中的概念推广到空间向量.教师进行整理完善,提醒学生注意零向量与任意向量平行;强调空间向量也是自由的,相比于平面向量可以在平面内自由移动,空间向量可以在空间内自由移动.
设计意图:空间向量的这些概念和平面向量是一样的,让学生自主归纳能够避免教师逐条罗列的乏味感,也能避免不必要的时间浪费.
3.类比平面向量,研究空间向量的线性运算
问题3:按照平面向量的学习过程,有了基本概念之后,我们就要开始研究运算了,能不能用平面向量的运算规则来定义空间向量的运算?比如两个空间向量间如何做加法运算?
师生活动:教师启发学生关注“空间向量是自由的”,考虑能否将空间向量的运算转化成平面向量的运算.学生不难发现可以通过平移使两个空间向量共面,从而转化成平面向量问题.教师共同归纳空间向量的线性运算及其几何表示.
设计意图:引导学生经历转化化归的过程,感受知识间的内在联系,为后续从平面向量研究空间向量提供方向.
追问:平面向量线性运算的运算律能否推广到空间向量呢?
师生活动:有了刚刚的经验,学生不难提出交换律和分配律并论证其合理性.教师引导学生关注加法结合律(涉及三个空间向量)的论证.
追问:对于三个空间向量、、,怎样证明?
师生活动:师生共同回顾平面向量加法结合律的证明,对于共面的三个向量,其加法结合律是显然的;对于不共面的三个向量,启发学生参照平面向量加法结合律的证明,以空间几何图形为载体,画出三个空间向量:主要有四面体、平行六面体两种模型.
设计意图:学生类比平面向量加法结合律的证明思路,借助几何直观,论证空间向量加法结合律,不仅可以加深学生对空间向量及其运算的直观认识,还可以培养学生直观想象素养和逻辑推理素养.
4.立足线性运算,研究空间向量的位置关系
问题4:对于任意两个空间向量和,如果,与有什么位置关系?反过来,与有什么位置关系时,?
师生活动:学生思考并回答,教师继续追问、论证空间向量共线的充要条件:
对任意两个空间向量与(),的充要条件是存在实数,使.
特别地,如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得eq\o(OP,\s\up8(→))=λ.我们把与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量.
这样,直线l上任意一点都可以由直线l上一点和它的方向向量表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的向向量确定.
设计意图:在经历数乘运算从平面推广到空间的过程后,一个自然的想法就是把两个向量的共线条件从平面推广到空间,问题4能够帮助学生快速建立起新旧知识间的联系,并归纳出空间向量共线的充要条件.
问题5:平面向量推广到空间向量,研究的范围从平面拓展到了空间,向量间的位置关系除了共线,
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