高等数学教程　下册　第4版 课件 7.5 常系数齐次线性微分方程.ppt

其中p,q为常数.7.5.1二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为依照线性微分方程解的结构理论:7.5常系数齐次线性微分方程只要求出方程(7-11)的两个线性无关的特解,就可以得到方程(7-11)的通解,也是全部解.

特解是故有为叙述方便,我们称为方程(7-11)的特征多项式,代入方程,得的特征方程,称为方程(7-11)称的根为方程(7-11)特征根.因因此,的解等价于:r是特征方程的根.因为一阶常系数齐次线性微分方程的一个

可得两个线性无关的特解故齐次方程的通解为情形1:特征方程有两个不相等的实根根据特征根的三种不同的情形分别讨论如下:

可得一特解故齐次方程的通解为设另一特解为于是情形2:特征方程有两个相等的实根

故齐次方程的通解为利用欧拉(Euler)公式得两个线性无关的特解及齐次方程解的叠加原理,得实函数解情形3:特征方程有一对共轭复根

特征方程常系数齐次线性方程通解的表达式特征根的情况实根复根实根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法,称为特征方程法.综上所述,求解的一般步骤:写出特征方程求出特征根根据不同情况得到相应的通解

解特征方程为特征根为例1求方程的通解.故所求通解为

解第一步先求通解特征根为原方程通解为例2求方程满足初始条件的特解.由于线性微分方程的通解就是其全部解,求线性微分方程满足某个初始条件的特解可以分为两步:求方程的通解代入初始条件确定通解中的任意常数特征方程为

由得故所求特解为第二步确定常数C1,C2

解特征方程为特征根为故所求通解为例3求方程的通解.

特征方程为7.5.2n阶常系数齐次线性方程n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为特征根的情况通解中的对应项其中为常数.

特征根为故,所求通解为解特征方程为例4求方程的通解.

特征根为所求微分方程为解由题设知,特征方程为例5已知一个常系数线性微分方程的通解为其中为任意常数,求这个微分方程.即都是微分方程的特解.易验证,线性无关.