高等数学教程　下册　第4版 课件 8.1 常数项级数的概念和性质.ppt

给定一个常数列其中第n项称为级数的一般项或通项.定义称为常数项无穷级数,简称级数.8.1常数项级数的概念和性质第八章无穷级数8.1.1常数项级数的概念定义8.1级数的前n项和称为该级数的部分和.记为如果则称级数收敛,则称s为级数的和,则称级数发散.如果部分和数列的极限不存在,称为级数的余项.显然有当n充分大时,当级数收敛时,其部分和是级数和s的近似值.级数和与部分和之差解例1讨论等比级数(又称几何级数)的收敛性,其中q叫做级数的公比.发散;发散.级数变为收敛;发散;综上所述重要结论:例公比为q的几何级数的和解因例2判定级数的敛散性.所以,该级数收敛,且其和为1.则1.线性性质k为任意常数,(1)如果8.1.2收敛级数的基本性质(2)如果则2.余和定律任意给定正整数N,证设级数的部分和为的部分和为注意到余和定律得证.级数与级数的敛散性相同.由余和定律,去掉、增加或改变一个级数的有限项不会改变这个级数的敛散性(但是“级数的和”一般会改变).例3讨论无穷级数的敛散性.解该级数是在收敛的几何级数前面添加了101项.由余和定律,它也是收敛的.如果级数收敛,则对该级数任意加括号后所形成的新级数仍收敛,且其和不变.证设有收敛的级数则3.加括号原则任意加括号后所成的级数为收敛发散推论如果加括号后所成的级数发散,则原级数也发散.例如,注意:加括号后收敛的级数,原来的级数不一定收敛.例4证明调和级数发散.证对调和级数按如下方式加括号令只要证明发散即可说明调和级数发散.有故级数发散.因此,调和级数发散.注意到注意:调和级数增长非常缓慢.