3.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)教学设计.docx

3.3.2抛物线的简单几何性质（第一课时）

一、课时教学内容：

①抛物线的范围；②对称性和对称轴；③顶点；④离心率及其意义.

二、课时教学目标：

(1)理解并掌握抛物线的几何性质，并在与椭圆、双曲线的类比中获得抛物线的性质，并能理解其中的联系与区别，从而培养学生分析、归纳、推理等能力；

(2)能掌握求抛物线标准方程的一般步骤；

(3)会把几何问题化归成代数问题来分析，并在运算过程中能充分利用相应的几何特性来简化计算努力做到“数形结合”。

三、教学重点和难点：

重点：抛物线的几何性质及初步运用；

难点：1.离心率的意义和总结；

2.几何问题向代数问题的转化，并利用几何特性简化运算。

四、教学过程

(一)复习提问，引入新课

问题1：抛物线的定义、标准方程和对应的图象。

师生活动：请两位同学回答，并就不同的标准方程和图象之间的对应要做强调。

设计意图：让抛物线的定义、标准方程和图象在黑板上展示出来，方便后续借助“形”来对相关性质进行研究和总结。

问题2：类比对椭圆和双曲线几何性质的研究，同学们认为应该研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？

师生活动：我们是从椭圆和双曲线的范围、对称性、顶点、离心率这4个方面来研究它的几何性质的。研究的基本思路与方法是先“形”后“数”,即在观察图形形状与特征的基础上先提出猜想,再通过标准方程进行计算和推理。

设计意图：直截了当提出研究的问题以及研究方法，提高学生思维的主动性、深刻性，避免思维的被动性和盲目性。

（二）各个击破，解决问题

1.范围

问题3：观察平面直角坐标系中的抛物线，它有怎样的范围？

师生活动：类比研究椭圆和双曲线范围的方法，观察抛物线，我们发现抛物线上点的横坐标的范围是：

，纵坐标的范围是。

追问：可以从代数角度给予说明吗？

师生活动：由抛物线的标准方程得，则。又，当增大时，也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

这说明抛物线在，所表示的区域范围内。

设计意图：分别从几何和代数两个角度进行范围的研究。明确研究曲线范围实质上是研究什么，以及怎么样通过方程研究它的范围。

2.对称性

问题4：观察抛物线的形状，它有怎样的对称性？在平面直角坐标系中，要证明一个图形关于坐标轴或原点对称，就是要证明什么？你能利用抛物线的方程证明它的对称性吗？

师生活动：类比研究椭圆和双曲线的对称性的方法，在标准方程中，把换成，方程不变，所以图形轴是对称的；但当把把换成时，方程变为，所以图形关于轴不是对称的。

所以，轴是抛物线的对称轴。

设计意图：明确曲线的对称性的实质，以及怎么样通过方程判断曲线是否关于坐标轴对称。

3．顶点

问题5：观察抛物线图像，同学们觉得有哪些比较特殊的点？

师生活动：在标准方程中，当得，因此抛物线的顶点就是原点。

设计意图：明确曲线顶点的含义以及通过方程研究曲线顶点的思路与方法。

4.离心率

问题6：与椭圆和双曲线类比，抛物线没有实轴、虚轴或是长轴、短轴，那么是否意味着抛物线就没有离心率这个性质呢。

师生活动：请学生回忆与离心率相关的知识或例题,以3.1.2的例6（P113）和3.2.2的例5（P125）做回忆引导。

可知：抛物线上的一点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫抛物线的离心率，用表示。由抛物线的定义可知，。

（三）应用巩固，内化迁移

例1已知抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程。

解：因为抛物线关于轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，所以可设它的标准方程为

。

因为点在抛物线上，所以

，

解得。

因此，所求抛物线的标准方程是

。

追问：顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？

求出这些抛物线的标准方程

解答：由于抛物线经过的点在第四象限，所以另外一条抛物线的标准方程为

。

代入求解可得另外一条抛物线的标准方程为。

设计意图：①首先通过对称轴和顶点位置确定标准方程，然后带入确定的点进行求解。

②确定抛物线标准方程后，只需一个抛物线上的点的坐标即可求解。

例2斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长。

分析：由抛物线的方程可以得到其焦点坐标，又直线的斜率为1，所以可以求出的方程；与抛物线方程联立，可以求出两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出。这种思路直接，具有一般性，但可以尝试探究新的方法。因为直线过抛物线的焦点，所以，而与在数量上可分别看作两点的横坐标与准线的差值。即有。

解：由题意可知，，焦点的坐标为，准线方程为。

设，，两点到准线的距离分别为，。由抛物线的定义，可知

，

于是。

因为直线的斜率为1，且过焦点，所以直线的方程为，将该直线方程代入抛物线方程化简后可得。

所以，。

所以，线段的长是8。

追问：如果直线不经过焦点，还等于吗？

解答：直线如果不经过抛物线焦点，