平面向量基本定理及坐标表示-2025届数学新高考一轮复习考点专练（附答案解析）.docx

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平面向量基本定理及坐标表示-考点专练

核心考点1基底的概念

角度1基底的概念与辨析

1．下列各组向量中，可以作为基底的是（????）．

A．， B．，

C．， D．，

2．袋中装有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6从中一次性随机取出两个球，设两球标号为和，并记，．将球放回袋中，重复上述操作，得到和．设平面向量，，则与能构成基底的概率为．

3．已知向量是一个基底，实数x，y满足，则.

角度2基底的应用

4．设，：把平面上任意一点映射为函数.

（1）证明：不存在两个不同的点对应于同一个函数；

（2）证明：当时，，为常数；

（3）设时，，，在映射的作用下，作为像，求其原像，并说明它是什么图像？

5．若存在实数、使得，则称函数为函数，的“函数”．

(1)若函数为函数、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求函数、的解析式；

(2)设函数，，是否存在实数、使得函数为函数、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由．

注：为自然对数的底数．

核心考点2平面向量基本定理及向量的坐标

角度1用基底表示向量

6．已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（????）

A． B．

C． D．

7．在三角形ABC中，点D足AB边上的四等分点且，AC边上存在点E满足，直线CD和直线BE交于点F，若，则（????）

??

A． B．

C．的最小值为17 D．

8．如图，在菱形中，，E、F分别为、上的点．，，点M在线段上，且满足，；若点N为线段上一动点，则的取值范围为．

9．在长方形中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且，设，.

(1)试用基底，表示，，；

(2)若G为长方形所在平面内一点，且，求证：三点不能构成三角形.

角度2线性运算的坐标形式

10．已知正方形两对角线交于点，坐标原点不在正方形内部，，，则向量等于

A． B． C． D．

11．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.现将双曲线：上的每个点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到曲线，则曲线的方程为．

12．在直角坐标平面中，已知点，，，，，其中是正整数.对平面上的任意一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，，为关于点的对称点，.

(1)设，求向量的坐标；

(2)对任意偶数，试问：和之间有怎样的关系；

(3)对任意偶数，用表示向量的坐标.

角度3斜坐标系

13．在平面斜坐标系中，，点的斜坐标定义为“若(其中分别为与斜坐标系的轴、轴同方向的单位向量)，则点的坐标为”.若，，且动点满足，则点在斜坐标系中的轨迹方程为

A． B． C． D．

14．如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点的斜坐标定义为：若（为与轴、轴同方向单位向量），则点的斜坐标为.若在该斜坐标系中，，，则为

15．如图：在斜坐标系中，轴、轴相交成60°角，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为向量的坐标，记作．在此斜坐标系中，已知满足：、．

（1）求的值；

（2）若坐标原点为的重心（注：在斜坐标系下，若为的重心，依然有成立）．

①求的面积；

②求满足方程的实数的值．

角度4等和线及应用

16．平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（????）

A． B． C． D．

17．已知正方体，，点满足，，，则下列说法正确的是（????）

A．当取最小值时，

B．存在，，使得平面截正方体的截面为菱形

C．当时，平面

D．当时，面

18．已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，，，其中．则的最小值为．

核心考点3线性运算的坐标形式的应用

角度1向量共线的坐标形式

19．已知，，则与共线的单位向量是（）

A． B．或

C． D．或

20．如图，，，是全等的等腰直角三角形，，处为直角顶点，且O，，，四点共线.，若点，，，分别是边，，上的动点（包含端点），记，，，则（????）

A． B． C． D．

21．在中，，,设,,

，现定义.

（Ⅰ）向量是否一定共线？为什么？

（Ⅱ）试分别求函数的最大值与最小值.

角度2线段的定比分点

22．直线经过两个定点（其中），则直线的参数方程为（为参数，）.其中点为直线上任意一点，下列说法中不正确的是（????）

A．参数的几何意义是动点分有向线段的数量比

B．可以用表示直线上的任意一点

C．当且时，为外分点

D．当时，