数列的通项与求和01-2025届数学新高考一轮复习考点专练（附答案解析）.docx

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数列的通项与求和-考点专练

核心考点1数列通项的求法角度1累加法求通项

1．如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（????）

A．2290 B．2540 C．2650 D．2870

2．已知数列满足，，，则下列结论错误的是（???）

A． B．存在，使得

C． D．

3．已知函数，令，，若，则的最大值为.

4．已知数列满足，，且．

(1)令，求；

(2)记的前n和为，求证：．

角度2累乘法求通项

5．定义：满足为常数，）的数列称为二阶等比数列，为二阶公比.已知二阶等比数列的二阶公比为，则使得成立的最小正整数为（????）

A．7 B．8 C．9 D．10

6．已知数列满足，，令，则（????）

A． B．数列是等差数列

C．为整数 D．数列的前2022项和为4044

7．已知首项为的正项数列满足满足，若存在，使得不等式成立，则的取值范围为．

8．已知数列的各项均为正数，，．

(1)若，证明：；

(2)若，证明：当取得最大值时，．

角度3利用求通项

9．设正数数列的前项和为，且，则（????）

A．是等差数列 B．是等差数列 C．单调递增 D．单调递增

10．已知数列，，记，，若且则下列说法正确的是（????）

A． B．数列中的最大项为

C． D．

11．设为数列的前项和，，，则

（1）；

（2）.

12．记正项数列的前n项和为，满足1，，成等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)设集合，求集合A．

角度4构造法求通项

13．已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

14．已知数列满足，数列满足，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（????）

A．数列是等差数列 B．

C． D．

15．数列满足，，则的整数部分是．

16．“牛顿迭代法”是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设是的根，选取作为初始近似值，过点作的切线与轴的交点横坐标为，称是的一次近似值；过点作的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列为“牛顿数列”，即.已知函数，数列为“牛顿数列”，设，且.数列的前项和.

17．已知数列满足，．

(1)求，，，并求证：；

(2)求数列的前2n项和．

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参考答案：

1．D

【分析】由题意总结规律得，再利用累加法求得的通项公式，然后再进分组求和，建立一个关于的方程，解方程可得.

【详解】在第堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第层的球的个数多n，

记第n层球的个数为，则，

得，

其中也适合上式，则，

在第n堆中，

，

当时，，解得.

故选：D.

2．BD

【分析】根据递推公式分别求出和可判断A；将两边同时取倒数后配方，再适当放缩可得到，即可判断B；根据，再利用累加法可判断C；根据，再利用累乘法可求出即可判断D.

【详解】，，易知，，

对于A，，，故A正确；

对于B，，，

，两边开方得，故B错误；

对于C，由B知，，即，

当时，

，

，，

即，当且仅当时等号成立，

，故C正确；

对于D，由C知，，即，当且仅当时等号成立，

当时，

，

，故D错误.

故选：BD.

3．2

【分析】先由题意求出，，，再分别由和得数列、和的递推关系，，，进而根据其递推关系即可求解.

【详解】由题得，故，

又因为，，

所以且，

所以，，，

故数列为常数列且，

所以即数列是首项为2和公差为2的等差数列，

则，

所以即，

故

，

所以，

令，

则对任意成立，当且仅当时，

故在上单调递增，所以，

所以，当且仅当时等号成立，

故，即的最大值为2.

故答案为：2.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由和求得数列、和的递推关系，，.

4．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据数列递推式可得，即得，利用累加法即可求得答案；

（2）根据数列递推式可得，即可求得，进而求出的表达式，利用裂项求和求得，即可证明结论.

【详解】（1）因为，所以，

因为，所以，

因为，所以时，

，

也适合，

所以．

（2）因为，故，

又因为，则，可知，

所以，

而，所以，

所以，