新高考数学一轮复习讲练测第2章第03讲 幂函数与二次函数（讲义）（解析版）.doc

第03讲幂函数与二次函数

1、幂函数的定义

一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.

2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数

①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.

(3)幂函数的图象和性质

3、常见的幂函数图像及性质：

函数

图象

定义域

值域

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

单调性

在上单调递增

在上单调递减，在上单调递增

在上单调递增

在上单调递增

在和上单调递减

公共点

4、二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：；

（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.

（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.

5、二次函数的图像

二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.

（1）单调性与最值

①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；

②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，

（2）与轴相交的弦长

当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.

6、二次函数在闭区间上的最值

闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.

对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，则；

（4）若，则.

【解题方法总结】

1、幂函数在第一象限内图象的画法如下：

①当时，其图象可类似画出；

②当时，其图象可类似画出；

③当时，其图象可类似画出．

2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系

（1）方程有两个不等正根

（2）方程有两个不等负根

（3）方程有一正根和一负根，设两根为

3、一元二次方程的根的分布问题

一般情况下需要从以下4个方面考虑：

（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.

设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.

根的分布

图像

限定条件

在区间内

没有实根

在区间内

有且只有一个实根

在区间内

有两个不等实根

4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.

（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.

（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.

题型一：幂函数的定义及其图像

【例1】（2023·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（

）

A． B．或 C． D．

【答案】A

【解析】因为是幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递减，则.

故选：A

【对点训练1】（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（

）．

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．在上单调递增 D．在上单调递减

【答案】B

【解析】因为是幂函数，所以，解得或，

所以或，

对于，函数在上单调递增，在上单调递减；

对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减；

故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质．

故选：B

【对点训练2】（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（

）

A．2 B．3 C．4 D．9

【答案】B

【解析】设幂函数为，图象过点，故，故，

，.

故选：B

【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（

）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当时，定义域和值域均为，符合题意；

时，定义域为，值域为，故不合题意；

时，定义域为，值域为，符合题意；

时，定义域与值域均为R，符合题意；

时，定义域为R，值域为，不符合题意；

时，定义域与值域均为R，符合题意.

故选：C

【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（

）

A．p，q均为奇数，且

B．q为偶数，p为奇数，且

C．q为奇数，p为偶数，且

D．q为奇数，p为偶数，且

【答案】D

【解析】因为函数的定义域为，且在上单调递减，

所以0，

因为函数的图象关于y轴对称，

所以函数为偶函数，即p为偶数，

又p、q互质，所以q为奇数，

所以选项D正确，

故选：D.

【解题方法总结】

确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的.

题型二：幂函数性质的综合应用

【例2】（20