新高考数学一轮复习讲练测第3章第01讲 导数的概念与运算（讲义）（解析版）.doc

第01讲导数的概念与运算

知识点一：导数的概念和几何性质

1、概念

函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．

知识点诠释：

①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有

多近，即可以小于给定的任意小的正数；

②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

无限接近；

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时

刻的瞬间变化率，即．

2、几何意义

函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．

3、物理意义

函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．

知识点二：导数的运算

1、求导的基本公式

基本初等函数

导函数

（为常数）

2、导数的四则运算法则

（1）函数和差求导法则：；

（2）函数积的求导法则：；

（3）函数商的求导法则：，则．

3、复合函数求导数

复合函数的导数和函数，的导数间关系为：

【解题方法总结】

1、在点的切线方程

切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．

2、过点的切线方程

设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，

又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．

题型一：导数的定义

【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（

）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由图象可知，

即.

故选：D

【对点训练1】（2023·云南楚雄·高三统考期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（

）

A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s

【答案】C

【解析】由，求导得：.

当时，，解得（舍去）.

故当时，液体上升高度的瞬时变化率为.

故选：C

【对点训练2】（2023·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数的导函数是，若，则（）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】B

【解析】因为

所以

故选：B

【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）若函数在处可导，且，则（

）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【解析】由导数定义可得，

所以．

故选：A．

【对点训练4】（2023·高三课时练习）若在处可导，则可以等于（

）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由导数定义，

对于A，，A满足；

对于B，，

，B不满足；

对于C，，

，C不满足；

对于D，，

，D不满足.

故选：A.

【解题方法总结】

对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出．

题型二：求函数的导数

【例2】（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．

(1)；

(2)；

(3)

(4)；

【解析】（1）因为，所以.

（2）因为，所以.

（3）因为，所以

（4）因为，所以

【对点训练5】（2023·高三课时练习）求下列函数的导数：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)．

【解析】（1）

.

（2），

所以.

（3）.

（4）

.

（5）.

（6），

故

.

【对点训练6】（2023·海南·统考模拟预测）在等比数列中，，函数，则__________．

【答案】

【解析】因为

，

所以．

因为数列为等比数列，所以，

于是．

故答案为：

【对点训练7】（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求__________.

【答案】

【解析】由题意可知，令，则，解得，

由，得，即，

令，得，即，

解得.

故答案为：.

【对点训练8】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数的导函数为，且，则______．

【答案】

【解析】因为，则，故，故．

故答案为：.

【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则__________.

【答案】-2

【解析】由函数求导得：，当时，，解得，

因此，，所以.

故答案为：-2

【解题方法总结】

对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．

题型三：导数的几何意义

方向1、在点P处切线

【例3】（2023·广东广州·统考模拟预测）曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【解析】函数的导函数为，

所以函数在处的导数值，

所以曲线在点处的切线斜率为，

所以曲线在点处的切线方程为，即，

故答案为：.

【对点训练10】（20