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江苏省淮安市淮安区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（）

A． B． C． D．

2．已知，则在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3．设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（）

A．和 B．和

C．和 D．和

4．在中，角的对边分别为，若，则的形状是（）

A．等腰三角形 B．等边三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

5．在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

6．若两个单位向量满足，则向量与的夹角是（）

A． B． C． D．

7．在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（????）

A． B． C． D．

8．若，则（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知，，则下列结论正确的是（）

A．

B．

C．与的夹角为

D．在方向上的投影向量是

10．古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（????）

A． B．

C． D．

11．已知中，，．下列说法中正确的是（）

A．若是钝角三角形，则

B．若是锐角三角形，则

C．的最大值是

D．的最大值是4

三、填空题

12．写出一个满足的复数.

13．如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为.

??

14．已知，均为锐角，则．

四、解答题

15．设复数．

(1)若是实数，求

(2)若是纯虚数，求．

16．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，角的终边位于第二象限且与单位圆相交于点．

(1)求及的值；

(2)若角与角的终边关于轴对称，求的值；

(3)若，且角，直接写出满足条件的角的个数．（结论不要求证明）

17．已知.

(1)求函数图象的对称中心；

(2)设的内角所对的边分别为，若且.求周长的取值范围．

18．如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点的斜坐标定义如下：若（其中，分别为与轴，轴同方向的单位向量），则点的斜坐标为．此时有，，试在该斜坐标系下探究以下问题：

??

(1)若，求的值；

(2)若，求的坐标；

(3)求与垂直的单位向量的坐标．

19．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，），点在线段上，且满足．已知，，设．

(1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？

(2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时的值．

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参考答案：

1．B

【分析】由两角和的正弦公式即可得解.

【详解】由题.

故选：B.

2．C

【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数在复平面的位置进行判断即可.

【详解】因为，

所以在复平面内对应的点位于第三象限，

故选：C.

3．D

【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质逐一判断即可.

【详解】A：假设和是共线向量，因此有，

因为，为平面向量的一组基底，

所以，不是共线向量，且，因此不成立，

因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底；

B：假设和是共线向量，因此有，

因为，为平面向量的一组基底，

所以，不是共线向量，且，因此不成立，

因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底；

C：假设和是共线向量，因此有，

因为，为平面向量的一组基底，

所以，不是共线向量，且，因此要想成立，

一定有，显然无实数解，因此假设不成立，

因此和是不共线向量，所以本选项的向量可以做基底；

D：因为，

所以和是共线向量，所以本选项的向量不可以做基底，

故选：D

4．B

【分析】由已知条件即结合余弦定理和即可得解.

【详解】因为，

所以，且，

所以由余弦定理得，整理得，又，

所以，故是等边三角形.

故选：B.

5．A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则三角形法则，得到，之后将其