高中数学1.2空间向量基本定理(第2课时)教学设计.docx

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课题：1.2空间向量基本定理（第2课时）

（一）课时教学内容：

1.复习空间向量基本定理，会用基底表示空间内任意向量。

2.灵活运用空间向量基本定理解决空间内的平行、垂直、夹角问题。

（二）课时教学目标：

1.通过具体实例，感受空间向量基本定理处理问题的简洁性；

2.掌握用基底表示空间任意向量的方法，并能够处理简单的空间平行、垂直、夹角问题；

3.感受化归与转化思想在解决立体几何问题过程中的作用．

（三）教学重点和难点：

1.教学重点：空间基底的选择，如何用基底表示空间向量。

2.教学难点：基底的选择以及用基底表示空间向量，并解决立体几何中的实际问题。

（四）教学过程设计：

1.复习回顾，温故知新：

问题1：在平面向量中，我们学习了平行向量基本定理、平面向量基本定理，请大家回忆一下定理的内容。

追问1：由上一课时的学习，我们可以把平面向量基本定理推广到空间向量，你能否复述空间向量基本定理？

预设回答：

空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的一个有序实数组，使得．表达式叫做的线性表达式，或线性组合；

相关概念：其中{、、}叫做空间向量的一个基底，、、都叫做基向量。

追问2：三个向量、、构成一个基底的条件是什么？

预设回答：空间任意不共面的三个向量都可以作为空间向量的一个基底。

追问3：基底和基向量有什么关联和区别？

预设回答：基底是一个集合，一个向量组，基向量是基底中的某一向量。

小结：提醒学生注意：

①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一；

②三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；

③基底是一个集合，一个向量组，基向量是基底中的某一向量。

④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。

问题2：在空间向量基本定理中，用基底{、、}表示空间内任意向量，表示方法是否唯一？

预设回答：对空间任一向量，存在唯一的一个有序实数组，使得．

追问：什么是单位正交基底？

预设回答：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{，，}表示．

设计意图：复习上一课时空间向量基本定理内容。

例题精讲，知识应用：

（详见教材P.13例2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，

，分别为的中点，求证：

师生互动：引导学生讨论，提出解题思路。

分析：要证，只需证明，选择合适的基底，把和分别用基底表示出来，然后计算即可。

教师板书解题过程

（详见教材P.13例3）正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E、F、G分别为C′D′、A′D′、DD′的中点

求证：EF//AC

求CE与AG所成的角的余弦值

师生互动：引导学生讨论，提出解题思路。

分析：（1）要证明EF//AC，只要证明与共线，取合适的单位正交基底，然后把与用基底表示出来，即可证明它们共线。

（2）要求CE与AG所成的角的余弦值，只要求向量与所成的角的余弦值。

教师板书解题过程

梳理小结，深化理解：

本课时在上一课时的基础上，运用空间向量基本定理，解决立体几何中的平行、垂直及夹角等问题，在解决问题的过程中，进一步加强向量运算能力，并体会化归与转化的数学思想。

目标检测，验证效果：

A组（适合普通高中学生）

1．若{a，b，c}为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是()

A．a，a＋b，a－b B．b，a＋b，a－b

C．c，a＋b，a－b D．a＋b，a－b，a＋2b

解析：C空间基底必须不共面．

A中a＝eq\f(1,2)[(a＋b)+(a－b)]，不可为基底；

B中b＝eq\f(1,2)[(a＋b)－(a－b)]，不可为基底；

D中eq\f(3,2)(a＋b)－eq\f(1,2)(a－b)＝a＋2b，不可为基底．

2．O，A，B，C为空间四点，且向量eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))不能构成空间的一个基底，则()

A．eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))共线 B．eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))共线

C．eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))共线 D．O，A，B，C四点共面

解析：D由题意知向量eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))共面，从而O，A，B，C四点共面．

3．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc