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例谈求动点轨迹方程的几种方法

求动点的轨迹方程问题是高考的热点问题，难度较大，根据近几年全国卷的

相关题目的得分情况开看，得分率普遍较低.求动点轨迹方程的关键是要仔细审

题，分析已知条件和动点轨迹的特点，然后将动点满足的条件用动点坐标来表示，

化简要注意等价变形，并要考虑一些特殊点是否适合方程.

求动点的轨迹方程的一般步骤：在平面直角坐标系中，设动点，根据

题目条件，得出横坐标x与纵坐标y的关系式，即为动点的轨迹方程.简化来说，

核心步骤是建系、设点、列式、代人、化简、检验.

一、待定系数法

当已知曲线的形状时，利用待定系数法，设出曲线方程，根据已知条件，求

出未知数.此类题目一般比较简单.

例1.与椭圆共焦点，且过点的双曲线方程为（）

A．B．C．D．

【解析】由题得椭圆的焦点为，所以双曲线的焦点为，

设双曲线的方程为，所以，解之得

所以双曲线的方程为.故选：B.

【答案】B.

二、定义法

定义法往往是根据课本中椭圆、双曲线与抛物线的定义，需要利用数形结合

思想，挖掘位置关系，研究动点满足的几何特征，从题目的已知条件中提取出相

关定义进行求解.

例2.动圆M与圆外切，与圆内切，则动圆圆

心M的轨迹方程是__________.

【来源】安徽省淮南市2019-2020学年高二上学期期末数学（文）试题

【解析】设动圆的圆心为：，半径为，

动圆与圆外切，与圆内切，

所以，，

，因此该动圆是以原点为中心，焦

点在轴上的椭圆，且，，解得，

∴，椭圆的方程为：.

【答案】．

名师点拨：如果动圆与两个相互内含的定圆的位置关系为一个内切，一个外

切，那么动圆圆心的轨迹为椭圆.同样可得：

1.如果动圆与两个相离的定圆（圆M、圆N）的位置关系为与某一个外切，

某一个内切，那么动圆的圆心的轨迹为双曲线；

2.如果动圆与两个相离的定圆（圆M、圆N）的位置关系为与圆M外切，与

圆N内切（与圆M内切，与圆N外切），那么动圆的圆心的轨迹为双曲线的一支；

3.如果动圆与两个相离的定圆的位置关系为同时外切或内切，那么动圆的圆

心的轨迹为双曲线的一支.

4.如果动圆与一个定圆和一条直线同时相切（直线与定圆不相切），那么动

圆的圆心的轨迹为抛物线；

5.如果动圆与一个定圆和一条直线同时相切（直线与定圆相切），那么动圆

的圆心的轨迹为抛物线或一条射线.

三、直译法

根据题意中动点的几何关系，将其转化为动点坐标的关系式，化简后即

为动点P的轨迹方程，在将关系式进行变形和化简的过程中，一定要注意是否等

价.

例3..动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则

动点的轨迹方程是___________.

【来源】广东省阳江市第三中学2019-2020学年高二上学期第二次月考试题

【解析】设，则，化简得：.

【