高等数学教程　下册　第4版 课件 7.3 可降阶的高阶微分方程.ppt

7.3.1型的微分方程特点:左端是未知函数y的n阶导数,且不含未知函数y及其两边积分……连续积分n次,得到含有n个任意常数的通解.右端是自变量x的一个已知函数,各阶导数.再积分7.3可降阶的高阶微分方程解例1求微分方程的通解.原方程通解为特点:方程中不显含未知函数y.解法:7.3.2型的微分方程设代入原方程,化为一阶微分方程即再积分一次,得原方程通解若求得其解为解例2求方程的通解.这是以p为未知函数的一阶线性微分方程即代入原方程,得再次积分,得为原方程通解令求出通解后,再积分k次,即可求得原方程的通解.方程就可化为阶方程推广:例3解方程解令则方程变为由分离变量法解得于是得原方程的通解再积分4次是可分离变量方程解法:分离变量,得7.3.3型的微分方程特点:方程中不显含自变量x.设代入原方程,化为一阶微分方程若求得其解为所以,原方程的通解为即解代入原方程得原方程通解为设例4求方程的通解.即例5设函数在上具有连续的导数,并且满足:求解已知方程可化为方程两边对x求导数,有再求导,有注意到:代入原方程得于是原方程的求解问题就转化为求解初值问题：设所以满足原积分方程的解为积分,得于是