高等数学教程　下册　第4版 课件 7.4 高阶线性微分方程.ppt

则称这n个函数在区间I上线性相关;线性无关.个函数,如果存在n个不全为零的常数使得否则,称为7.4高阶线性微分方程7.4.1函数的线性相关与线性无关n阶微分方程的通解中含有n个独立的任意常数,设是定义在区间I上的n常数的独立性可以归结为函数的线性相关性的讨论.例1证明函数在证上线性相关.由三角函数恒等式有线性相关.例2证明函数在令x=0,得k1=0.证假设线性无关.故,在线性无关.等式两端对x求导,再令x=0,得k2=0.依次类推,可得例3设可微，令x=0,得k1=0.证设且故线性无关.等式两端对x求导,再令x=0,得k2=0.即证明：线性无关.存在不全为零的常数k1和k2,使得特别地,只考虑k1≠0的情况即y1(x)可以由y2(x)线性表示.进而数中至少有一个函数可以用其它的函数线性表示.对于线性相关的两个函数与n个函数线性相关是说:这组此时只用一个任意常数C3,以及C3y2(x)就可以表示和的任意线性组合C1y1(x)+C2y2(x).说明C1和C2不是独立的任意常数.n阶非齐次线性微分方程的一般形式为7.4.2线性微分方程解的结构称为(7-7)所对应的n阶齐次线性微分方程.其中为已知的连续函数,且不恒为零.性质2如果y1(x)、y2(x)是方程(7-8)的解,则y1(x)+y2(x)也是方程性质1如果y(x)是方程(7-8)的解,则Cy(x)也是方程(7-8)的解,线性微分方程的基本性质性质3如果y1(x),y2(x)是方程(7-7)的解,则y1(x)-y2(x)也是方程(7-8)的解。其中C为任意常数.(7-8)的解.称为(7-9)所对应的二阶齐次线性微分方程.特别地,二阶非齐次线性微分方程记为其中不恒为零.方程定理7.1设函数是二阶非齐次线性微分方程(7-9)的一个特解,函数是方程对应的二阶齐次线性方程(7-10)的两个线性无关的特解,则是方程(7-10)的通解,其中是任意常数.是方程(7-9)的通解,其中是任意常数.证(1)先证明C1y1+C2y2是方程(7-10)的解.因为y1和y2是方程(7-10)的解,所以代入方程(7-10),有则是(7-10)的解.由有又因线性无关,所以是独立的任意常数.故是方程(7-10)的通解.是方程(7-8)的通解,一般地,如果是n阶非齐次线性微分方程(7-7)函数是其对应的齐次线是方程(7-7)的通解,其中是任意常数.的一个特解,性方程(7-8)的n个线性无关的特解,则