高等数学教程 下册 第4版 课件 8.3 幂级数.ppt

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8.3幂级数8.3.1函数项级数的概念是定义在上的函数项级数.称为定义在区间I上的函数项无穷级数.定义1设是定义在区间I上的函数列,表达式例如,级数所有发散点的全体称为发散域.函数项级数的所有收敛点的全体,称为收敛域,发散点.定义2如果数项级数收敛,则称为级数的收敛点,否则,称为设函数项级数的部分和为余项(x在收敛域上)注意:函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数(x∈D)定义3在收敛域D上,函数项级数的和是x的称为函数项级数的和函数.函数则项级数的收敛问题.是公比为x的几何级数,在收敛域内,其和函数是发散域为其收敛域为同理例如,级数解由比值判别法,有原级数绝对收敛.例1求级数的收敛域.(1)当原级数发散.收敛;发散;故,原级数的收敛域为(2)当(3)当形如8.3.2幂级数及其收敛性称为x的幂级数.称为幂级数的系数.简称幂级数.的函数项级数,称为的幂级数,设其意义在于用多项式近似s(x).是公比为x的几何级数,其收敛域为级数在一般的情形下,幂级数的收敛域都是区间.证(1)定理8.13(阿贝尔定理)则它在满足的一切x处发散.处收敛,处发散,若幂级数若幂级数即存在常数M0,使得则它在满足的一切x处绝对收敛;从而数列有界,由结论(1),这与所设矛盾.使级数收敛,若有一点x1适合则级数在处应收敛,收敛区域发散区域发散区域几何说明推论8.1也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定幂级数绝对收敛;幂级数发散.幂级数可能收敛,也可能发散.的正数R存在,它具有下列性质:如果幂级数不是仅在x=0一点收敛,幂级数的收敛域一定是下列四个区间之一:规定:定义(1)幂级数只在x=0处收敛,规定收敛域为x=0;(2)幂级数对一切x都收敛,规定收敛域为正数R称为幂级数的收敛半径.问题:如果幂级数处条件收敛,其收敛半径R=?证设定理8.14由比值判别法,则如果幂级数的所有系数收敛半径收敛,发散,并且从某个n开始从而级数发散.从而级数绝对收敛.(1)如果收敛,从而级数绝对收敛.收敛半径发散,收敛半径(2)如果(3)如果例1求幂级数的收敛半径与收敛域.解故发散;故收敛域为收敛.解例2求幂级数的收敛半径与收敛域.收敛域为解仅在x=0收敛.例3求幂级数的收敛半径与收敛域.所以,收敛半径为解例4求幂级数的收敛半径与收敛域.收敛;故收敛域为[1,3].收敛.所以,当收敛,定理8.15(收敛半径的根值计算法)解例5求幂级数的收敛半径与收敛域.原级数的一般项不趋于零,收敛域为级数发散.解原级数绝对收敛,级数发散.例6求幂级数的收敛域.级数发散.原级数的收敛域为8.3.3幂级数的性质及幂级数的和函数的收敛半径分别为R1和R2,取其中性质2和函数且逐项求导后收敛半径不变.并有逐项求导公式性质1和函数在收敛域上连续.设性质3和函数有逐项积分公式逐项积分后收敛半径不变.若注:幂级数逐项微分与逐项积分后收敛半径不变,但是收敛域可能不同.解例7求幂级数的和函数.解例8求幂级数

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