高等数学教程　下册　第4版 课件 9.2 空间平面和直线方程.ppt

令直线的参数方程故如果一非零向量垂直已知的法向量为9.2空间平面和直线方程9.2.1空间平面方程1.平面的点法式方程求该平面的方程.且平面通过点设为平面上的任一点,于一平面,这向量就叫做该平面的法向量．必有平面的点法式方程其中法向量过已知点因所以解例1求过三点的平面方程.设平面的法向量为n=(A,B,C),则有因此解得所求平面方程为解取所求平面方程为即例1求过三点的平面方程.平面的点法式方程是关于x,y,z的一次方程,平面的一般方程因此,称2.平面的一般方程任取该方程的一组解两式相减,得反过来,所有三元一次方程都是一个平面.平面一般方程的几种特殊情况:平面通过坐标原点；平面通过轴;平面平行于轴;平面平行于坐标面;类似地可讨论情形.类似地可讨论情形.代入后得到所求的平面方程为因为平面通过点(4,-3,-1),解因为所求平面通过x轴,所以它的法向量垂直例2设平面过点及x轴,求其方程.因为平面过原点,所以D=0.于x轴.方程为By+Cz=0.可设法向量n=(0,B,C).因此,所求的平面有-3B-C=0.设平面为将三点坐标代入得设平面与x,y,z三轴分别交于3.平面的截距式方程代入可得,注:当平面不与任何坐标面平行,平面的截距式方程x轴上截距y轴上截距z轴上截距且不过原点时,才有截距式方程.将此平面写成截距式则该平面在x轴、y轴和z轴解例3求平面与三个坐标面所围成的四面体的体积.故所求的四面体的体积为上的截距分别为2、-3、6.定义两平面法向量的夹角称为两平面的夹角.(通常取锐角或直角)4.两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式//两平面垂直、平行的充要条件:取锐角定理9.4设平面的夹角为如果平面的图形的面积为S,则这个图形在平面内的投影面积为外一点,5.点到平面的距离并作向量的距离公式为例4两平行平面与间距离为(),其中的方程分别为:(A)1(B)(C)2(D)21A解∥定义空间直线可看成两平面的交线.空间直线的一般方程L(2)直线L的一般方程形式不是唯一的.8.2.2空间直线方程注:如果一非零向量平行于一条已知直线,//这个向量称为这条直线的方向向量.直线L的方向数.已知直线过点求此直线的方程.其方向向量为因为直线的对称式方程令直线的参数方程故//故(点向式、标准式)对称式方程的分母可以有一个或两个为零.如对称式方程为可写成一般方程又如可写成一般方程