工科数学分析 下册 第2版 第七章 多元函数微分学.pptx

第七章多元函数微分学

第一节多元函数的极限

与连续;多元函数的基本概念;（1）邻域;（2）区域;;例如，;;（3）聚点;?点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．;（4）n维空间;?n维空间中邻域、区域等概念;（5）二元函数的定义;例1求的定义域．;（6）二元函数的图形;二元函数的图形通常是一张曲面.;;二、多元函数的极限;说明：;例2求证;例3求极限;例4证明不存在．;确定极限不存在的方法：;利用点函数的形式有;三、多元函数的连续性;例5讨论函数;故函数在(0,0)处连续.;例6讨论函数;**区域上、曲线上的连续性;;闭区域上连续函数的性质;（3）介值定理;例７;思考题;思考题解答;多元函数极限的概念;;作业;第二节偏导数;偏导数;一、偏导数的定义及其计算法;偏导数的实质：偏增量比的极限;偏导数的概念可以推广到二元以上函数;解;证;解;不存在．;不存在．;不存在．;证;有关偏导数的几点说明：;例5;按定义可知：;３、偏导数存在与连续的关系;取;4、偏导数的几何意义;几何意义:;纯偏导;解;原始函数图形;;例8;按定义可知：;问题：;解;证毕．;偏导数的定义;作业;第三节全微分;全微分;;全增量的概念;全微分的定义;事实上，;二、可微的条件;证;一元函数在某点的导数存在微分存在．;则;说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，;（依偏导数的连续性）;同理;习惯上，记全微分为;解;解;解;*;证;不存在.;;全微分在近似计算中的应用1---近似计算;解;全微分在近似计算中的应用2---误差估计;;下面利用全微分给出函数的误差限

与自变量的误差限之间的关系。;;解;１．多元函数全微分的概念；;作业;第四节复合函数

的求导法;复合函数的求导法;证;SeeP13~ch7-3;上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.;上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：;;;;特殊地;解;解;解;于是;全微分形式不变形的实质：

无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.;解;1、链式法则（分三种情况）;作业;第五节隐函数的

求导法;隐函数的求导法;一、一个方程的情形;解;解;;解;思路：;整理得;整理得;二、方程组的情形;;解1;将所给方程的两边对求导，用同样方法得;（分以下几种情况）;作业;第六节方向导数

与梯度;方向导数与梯度;实例：一块长方形的金属板，四个

顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，

(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，

它使金属板受热．假定板上任意

一点处的温度与该点到原点的距离

成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？;讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．;当沿着趋于时，;记为;方向导数最大的方向是函数值变化最骤烈的方向.;证明;;解;解;故;推广可得三元函数方向导数的定义;三、梯度的概念;结论;沿着梯度方向,函数的方向导数最大,即函数的变化率最大.

沿着正梯度方向,函数的值增加得最快,变化率为梯度的模;

沿着负梯度方向,函数的值下降得最快,变化率亦为梯度的模;

沿着与梯度方向垂直的方向,函数的值变化得最慢,变化率为零.;类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.;解;1、方向导数的概念;Del，或称nabla，是数学中的一个算子，特别是在向量微积分中，作为一个向量微分算子，通常用nabla符号?表示。当应用于一个定义在一维域上的函数时，它表示微积分中定义的标准导数。当应用于一个场（定义在多维域上的函数）时，del可以表示标量场的梯度（局部最陡峭的斜率）。del符号可以被解释为偏导算子的矢量。;作业;第七节微分学在几何上的应用;微分学在几何上的应用;设空间曲线的方程;考察割线趋近于极限位置——切线的过程;曲线在M处的切线方程;切向量指向：与参数t增大时点M移动的走向

(简称t的增长方向)一致。;解;1.空间曲线方程为;2.空间曲线方程为;所求切线方程为;二、向量函