全微分方程省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

3.3全微分方程积分因子法

3.3.1全微分方程

微分形式一阶微分方程能够写成

(3.3.1)

假如上式左端恰是某个二元函数全微分,即

(3.3.2)

则称方程（3.3.1）为全微分方程或者恰当方程。函数

称为微分方程（3.3.1）原函数。;比如方程

就是一个全微分方程。因为它左端

恰好是二元函数

全微分。函数就是方程

一个原函数。;现在有两个基本问题：

1判断微分方程（3.3.1）是全微分方程？

2假如方程（3.3.1）是全微分方程，怎样求得原函数？

为了回答上述问题，首先查看当（3.3.1）

是全微分方程时，函数应该具备什么性

质？从方程（3.3.2）知应有

(3.3.3);和(3.3.4)

将（3.3.3）和（3.3.4）分别对y和x求导，得到

由连续性，可得

所以就有(3.3.5);

于是，条件（3.3.5）是（3.3.1）成为全微

分方程必要条件。现在证实（3.3.5）还

是（3.3.1）成为全微分方程充分条件。

或者深入证实，假如方程（3.3.1）满足

条件（3.3.5），我们就能找到函数，使它

同时适合方程（3.3.3）和（3.3.4）。这么

就回答了上面提出两个问题。;现在从关系式（3.3.3）出发，将y看

成参数，两边对x积分得

这里g(y)是y任意可微函数。下面来

选择g(x),使u同时满足（3.3.4）。因为

所以;现在证实（3.3.7）右与x无关，也就是证实（3.3.7）右端对x偏导数恒等于零。实际上

;

将（3.3.8）代入到（3.3.6），即得到

(3.3.9);求原函数u也能够化成定积分来做。将方程（3.3.3两边对x积分，得

(3.3.11)

其中g(y)为y任意可微函数。为了使u满足（3.3.4），应该有

(3.3.12)

由参变量积分性质和条件（3.3.5），;上式即是;因为只需要一个g(y)就够了，所以取

c=0,于是所要求原函数就是

(3.3.14)

而方程（3.3.1）通解就是

(3.3.15);

例3.3.1求微分方程

通解。

解这里

因为;所以方程是全微分方程。下面求u.

先由

两边对x积分，得

为了确定g(y),将上式对y求导，并将它与

比较即得

于是

;积分，并取积分常数为零，得到

所以得方程通解是

例3.3.2求解以下初值问题;解因为

所以这个方程是一个全微分方程，故所求初值

问题解为

即

亦即

或;在判断微分方程是全微分方程以后，也能够采取所谓“分项组合”方法来求解。先把那些本身组成全微分项分出，再把剩下项凑成全微分。这么需要熟记一些简单二元函数全微分，如;

(3.3.17)

;例3.3.3用“分项组合”方法求解微分方程

解把方程重新“分项组合”，得

即

或者写成

于是方程通解就是

这里C是任意常数。;假如存在连续可微函数;由关系式(3.3.17)能够看到，同一个方程;一阶线性偏微分方程解法将在第六章介绍。在一些特殊情况下，求出方程(3.3.21)一个特解是轻易。所以方程(3.3.21)也就提供了寻求特殊形式积分因子一个路径。;;例3.3.5使用积分因子法求解一阶线性方程;以;例3.3.6求解微分方程;或写成;;例3.3.8求解微分方程;即;设力场存在势函数