数学研究课题空间几何体的外接球与内切球问题.docx

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数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题

例1．用两个平行平面去截半径为R的球面，两个截面圆的半径为r

1

?24cm ，

r ?15cm．两截面间的距离为d?27cm，求球的表面积．

2

分析：此类题目的求解是首先做出截面图，再根据条件

和截面性质做出与球的半径有关的三角形等图形，利用方程思想计算可得．

解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于AB,AB，

上述大圆的垂直于AB

的直径交AB,AB

11 2 2

于O,O，如

图2．

1 1 11 2 2 1 2

?d ?d

? 1 2

?27

设OO

1

?d ,OO

1 2

?d，则?d2

2 ?1

?242

?R2

，解得R?25．

?d2?152?R2

?

2

?S ?4?R2?2500?(cm2)．

圆

说明：通过此类题目，明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题，进一步熟悉有关圆的基础知识，熟练使用方程思想，合理设元，列式，求解．

例2．自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA,MB,MC，求

MA2?MB2?MC2的值．

分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．

解：以MA,MB,MC为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥M?ABC补成一个长方

体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．

?MA2?MB2?MC2=(2R)2?4R2．

说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．

例3．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．

分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．

3V解：设球的半径为r，正方体的棱长为a，它们的体积均为V

3V

则由4?r3

3

?V,r3?3

V4?

V

，r?

3V3

3V

34?

?V,得a? ．

S ?4?r2?4?(3

球

3 )2? ．

34?V2

34?V2

V

3216V2S ?6a2?6(3V)2?63V2?

3216V2

正方体

34?V24??

34?V2

，即S

3216

3216V2

?S ．

正方体

说明：突出相关的面积与体积公式的准确使用，注意比较大小时运算上的设计．

例4．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．

分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．

解：如图，正四面体ABCD的中心为O，?BCD的中心为O

1

，则第一个球半径为正

四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．

设OO

1

?r,OA?R，正四面体的一个面的面积为S．

依题意得V

A?BCD

?1S(R?r)，

3

又V

A?BCD

?4V

O?BCD

?4?1r?S3

?R?r?4r即R?3r．

4?r3

?内切球的表面积

?

所以

4?r2

1 内切球的体积 3

??．

?

?

? 1．

外接球的表面积 4?R2 9 外接球的体积

4?R3 27

3

说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合

的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径r?

球的半径R?3r．

1h(h为正四面体的高)，且外接

4

例5 半径为R的球内接一个各棱长都相等的四棱锥．求该四棱锥的体积．

分析：四棱锥的体积由它的底面积和高确定，只需找到底面、高与球半径的关系即可，解决这个问题的关键是如何选取截面，如图所示．

解：∵棱锥底面各边相等，

∴底面是菱形．

∵棱锥侧棱都相等，

∴侧棱在底面上射影都相等，即底面有外接圆．

∴底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面中心，此棱锥是正棱锥．

过该棱锥对角面作截面，设棱长为a，则底面对角线AC?

故截面SAC是等腰直角三角形．

2a，

又因为SAC是球的大圆的内接三角形，所以AC?2R，即