2.1.1倾斜角与斜率教学设计课时教学设计.docx

PAGE

PAGE#|普通高中教科书教师教学用书数学选择性必修第一册I

课题：2.1.1倾斜角与斜率

（一）课时教学内容

内容

直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线的斜率公式.

内容解析

直线的倾斜角和斜率分别从形和数刻画了直线的方向：相对于1轴的倾斜程度，一点和倾斜角，或一点和斜率确定了平面直角坐标系中直线的位置.过两点的直线斜率公式把直线的彳顷斜角（方向或倾斜程度）与其上两点的坐标联系起来，实现了对直线几何特征的代数刻画.它是解析几何中的基本公式，是建立直线方程的基础.

为了用代数方法研究直线的有关问题，首先需要探索在平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示岀来.通过一点和一个方向确定一条直线，引入直线倾斜角的概念刻画直线的方向；进而通过向量法，用直线上两点的坐标刻画直线倾斜角的正切值，把它表示为这两点纵横坐标的差商，引出直线斜率的概念；最后建立过两点的直线的斜率公式，以及直线的斜率与其方向向量的关系.这一过程了体现了坐标法的基本思想.

（二）课时教学目标

1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.

3.掌握倾斜角和斜率之间的关系.

4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.

教学重点与难点

1.教学重点：理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系

2.教学难点：过两点的直线斜率的计算公式.

教学过程设计

1.新课引入：

交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k=上升高度水平距离=DBAD.k0表示上坡,k0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”

设计意图：通过生活中的现实情境，提出问题，帮助学生建立倾斜角与斜率的概念，引导学生回顾初中坡脚概念及三角函数知识，为直线倾斜角和斜率作知识上的准备。

2.探究新知：

本章我们将在平面直角坐标系中，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，并通过直线的方程研究两条直线的位置关系、交点坐标以及点到直线的距离等.我们知道，点是构成直线的基本元素.在平面直角坐标系中，点用坐标表示，那么，直线如何表示呢？为了研究这个问题，我们需要弄清楚:

问题1确定一条直线位置的几何要素是什么?对于平面直角坐标系中的一条直线l，如何利用坐标系确定它的位置?

教师讲解：两点以及一点和一个方向可以确定一条直线，由方向向量我们可以知道，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线.

设计意图：通过回顾，明确解析几何学的研究对象，使学生对坐标法形成初步印象，并引出本节的研究内容.

问题2如何表示直线的方向?

教师讲解：在平面直角坐标系中，我们规定一条直线向上的方向为这条直线的方向.因此，这些直线的区别在于它们的方向不同.如何表示这些直线的方向？

我们看到，这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同.因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向．

当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

设计意图：引导学生在两点确定一条直线的基础上，认识到一点和一个方向也可以唯一确定一条直线，方向是直线的一个重要几何要素.

问题3当直线l与x轴平行或重合时，其倾斜角大小为多少?直线的倾斜角的取值范围是什么?

当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角α的取值范围为

0°≤α180°.

这样，平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向．

设计意图：借助信息技术的直观，引导学生讨论在直角坐标系中直线的倾斜角取值的各种情况，进一步确认用倾斜角刻画一条直线倾斜程度的合理性.

问题4直线l的倾斜角α与P1(x1，y1)，P2(x2，y2)有什么内在联系?

教师讲解：对于一个一般性命题，可以从特殊的情形来考虑.

在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α．

(1)已知直线l经过点O(0，0)，P(3，1)，α与点O，P的坐标有什么关系?

(2)类似地，如果直线l经过点P1(－1，1)，P2(2，0)，α与点P1，P2的坐标又有什么关系?

对于问题（1），如图，

向量OP=（3，1），且直线OP的倾斜角也为α．由正切函数的定义，有

tanα=

对于问题（2），如图，

P2P1=?1?2,1?0=?

ta