2.2.1直线的点斜式方程课时教学设计.docx

2.2.1直线的点斜式方程

一、教学内容

利用已知直线上一点和直线的斜率，来求直线的点斜式方程，并利用直线点斜式方程来研究直线.在推导过程中体会“直线上每一个点的坐标都满足方程，以方程的解为坐标的点都在直线上”的含义.根据已知直线与y轴交点坐标以及斜率，推导出直线斜截式方程.加强直线截距概念的理解.

教学目标

能根据条件求出直线的点斜式、斜截式方程，根据点斜式、斜截式方程找到直线的相关要素.

让学生体验直线和直线方程之间的关系.

理解截距的概念.

通过本节学习，提升学生的直观想象、数学运算和数学抽象等数学学科核心素养．

通过直线方程的学习培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力.

三、教学重难点

（1）教学重点：推导直线的点斜式方程与斜截式方程；

（2）教学难点：理解直线上点的几何特征与直线上点坐标满足的直线方程间的对应关系。

四、教学过程设计

（一）情境引入

笛卡尔出生于法国，毕业于普瓦捷大学，法国著名哲学家、物理学家、数学家，被黑格尔称为“近代哲学之父”。

在笛卡尔之前，几何与代数是数学中两个不同的研究领域。他站在方法论的自然哲学的高度，认为希腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象力。对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。

笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了“解析几何学”。

我们知道给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，这样，在平面直角坐标系中给定一个点P0x0,y0和斜率k（或倾斜角）就能唯一确定一条直线，也就是说这条直线上任意一点坐标(x,y)与点

概念的理解及巩固应用

问题1：如何表示出过已知点，且斜率为k的直线的方程？

引导学生明确：直线方程是直线上任意点的几何特征进行代数表示.过已知点P，且斜率为k的直线的几何特征：直线上任意点与已知点连线的斜率等于直线的斜率.

解：如图，直线l经过点，且斜率为k，设是直线l上不同于点P的任意一点，因为直线l斜率为k，由斜率公式得，整理得.

追问1：如何建立直线的方程？

设计意图：利用直线上任意点的几何特征表示直线的代数形式，突出利用解析思想探究直线的方程.

追问2：能否直接表示直线l？为什么要进行变形？

引导学生观察：分式表达式中分母，即分式无法表示点；而变形后即可表示直线l上的所有点，即可表示直线l.并且知道直线上任意点的坐标都满足直线的方程.

意图：引导学生观察分式表达式中的限制条件，对表达式进行合理变形，得到直线的方程.

追问3：坐标满足该式的每一个点是否都在直线l上？

引导学生思考：已知直线的代数表示，检验任意点的坐标是否满足直线上任意点的几何特征.

解：若点的坐标满足关系式，则；

当时，，这时点与重合，显然有点都在直线l上；

当时，有，这表明过点，的直线的斜率为.

因为直线的斜率都为，且都过点，所以它们重合，点在直线l上.

设计意图：明确直线l上的任意一点的坐标一定满足关系式；坐标满足这个方程的每个点都在直线.

我们将称为过点，斜率为k的直线l的点斜式方程，简称点斜式；

设计意图：明确直线的点斜式方程的定义.

问题2：直线l经过点，且倾斜角为时，直线l的方程是什么？

引导学生思考：已知直线上的一点和直线的倾斜角，可通过求解直线的斜率，代入直线的点斜式方程表示直线，或利用直线上任意点的几何特征来进行代数表示

解法1：如图，此时，则由直线的点斜式方程得：.

解法2：如图，，这时直线l与x轴平行或重合，直线l的方程.

问题3：直线l经过点，且倾斜角为时，直线l的方程是什么?

引导学生思考：已知直线上的一点和直线的倾斜角为，直线没有斜率，不能用直线的点斜式方程，需要通过直线上任意点的几何特征推导直线的代数形式，得到直线的方程.

解：如图，此时由于无意义，即直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.又因为这时直线l上的每一点的横坐标都等于，即它的方程为.

意图完善直线的点斜式方程的应用范围，说明直线的点斜式方程无法表示所有的直线，需要注意斜率不存在的情况.

巩固应用探究新知

例1：直线l经过点,且倾斜角，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.

引导学生明确解题思路：已知直线上的一点和直线的倾斜角为，可通过求解直线的斜率，代入直线的点斜式方程表示直线.

梳理解题过程：

解：直线l经过点,且倾斜角，则斜率，代入点斜式方程得：，即.

若想画出直线l，先确定点的位置，虽然本题的直线是由一点和斜率的确定，但在画直线时并不好操作，实际上，通过直线上的每一个点的坐标都满足直线方程这一本质特征，我们只需找出满足直线