高中数学 3.2.1单调性与最大(小)值教学设计.docx

第PAGE1页

3.2.1单调性与最大（小）值（第1课时）

（一）教学内容

1.函数的单调性及其几何意义；

2.用定义证明函数单调性的步骤.

（二）教学目标

1.理解增函数、减函数的概念及函数单调性、单调区间的定义；

2.会根据单调定义证明函数单调性.

（三）教学重难点

1.教学重点：借助图象，表格和自然语言，数学符号语言，形成增（减）函数的形式化定义，并能

用定义解决简单的问题.

2.教学难点：在形成增（减）函数的形式化定义的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数

增减的数学符号语言表述，用定义证明函数的单调性.

（四）教学过程

1.创设情境，引发思考

引导语：在前面的函数的表示法中，我们讲过函数有三种表示方法：解析法、列表法和图象法，其中图象法具有直观的效果.那么通过观察一个函数的图象，首先在脑子中会产生对这个函数的什么认识呢？绝大多数人都会产生对这个函数的走向的认识.这节课，我们就对这个走向来做一番研究.

问题1：

我们在观察一个函数图象的过程中，总是不自觉的从左往右看，这是因为我们的书写习惯决定的.但是这个习惯却悄悄的建立了一个规矩.下面我们就按照这个规矩，来观察两个函数图象，想一想按照这个规矩，这两个函数图象的走向能反映出什么样的问题？

预设答案:第一幅函数图象是上升的趋势,也就是函数值随自变量的增大而增大,但是第二幅图有上升有下降.

师生活动：先由学生独立完成问题1，然后师生帮助一起完善思路.

第一个图中，给我们的感觉是图象越来越高；第二个图中，给我们的感觉是图象先降低后升高.

那么这种感觉是从何而来呢？事实上，我们在观察图象的时候，由于视觉的延迟作用，总是不自觉的把后一个点的位置与前一个点的位置做一个比较，从而产生了这样的走向结果.因此，我们观察到的图象的走向问题，实质上是我们按照从左至右的顺序产生的一系列的点的位置的高低问题.正因为如此，我们发现可以从数学的角度对这样的结果加以分析.总的来说这两幅图体现函数变化趋势比如上升下降,我们把这种性质叫做函数的单调性.

设计意图：让学生从直观的函数图象上感知函数的单调性.

问题2：

先研究二次函数，如何用数学符号语言刻画函数图象的上升下降这一结果？

预设答案:在函数某一段上升图象上从左至右任取两个点、，则有，且；若下降图象上从左至右任取两个点，则有，且.

师生活动：图象在轴左侧部分从左到右是下降的，随增大而减小，也就是说任取，当时，有.这是我们就说函数在区间上单调递减的.

类比上述数学符号表示，引导学生分析、书写函数在上是单调递增的.即图象在轴右侧部分从左到右是上降的，随增大而增大，也就是说任取，当时，有.这是我们就说函数在区间上单调递增的.

设计意图：主要是引导学生如何定量的刻画函数的单调性，这个过程要让学知道定量刻画函数单调性的必要性.

2.活动总结，形成概念

一般的,设函数的定义域为，区间:

如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.图（1）

如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.图（2）

特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.

当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.

如果函数在区间上调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间.

设计意图：通过聚焦研究帮助学生逐步勾勒出函数单调性的符号语言，让学生充分参与到概念的建构过程中，切身体验数学概念如何从直观到抽

象、从文字到符号、从粗疏到严密的过程，让他们充分感悟到数学概念符号化的建构原则．通过逐层分

解、逐步抽象的微观建构，真正提升学生在建构中的直观想象、数学抽象等核心素养．

3.初步应用，建立程序

例1.判断下列语句的正误.

（1）定义在上的函数满足，则函数在上是增函数；

（2）定义在上的函数满足，则函数在上不是函数；

（3）定义在上的函数是增函数，则一定满足.

师生活动：让学生依据函数单调性定义，举例辨析正误.

设计意图：初步理解定义，完成概念的意义建构，对概念意义的反思辨析，辨析正误和构造反例以突出单调性定义的本质理解，使学生向理性认知过渡，促进学生对知识本质的理解与内化.

例2.根据定义证明函数在区间上单调递增.

师生活动：

证明：，且，有

由,得，

所以又由，得

于是即

所以，函数在区间上单调递增.

定义法判断函数单调性的一般步骤：

①取值：在指定区间内任取，且；②作差变形：作差，利用因式分解、配方等方法进行变形；③判号：判断的符号④定论：确定函数的单调性.

设计意图：单调性的证明是学生在函数学习时运用数学概念进行形式化推