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等差数列与等比数列专项练习
等差数列知识点总结
定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数称为等差数列的公差．
a ?a ?d,n?2且n?Z，或a ?a ?d,n?1且n?Z
n n?1 n?1 n
?
?a ?a
??n?1?d?a
?n?m?d?kn?b
?n
? ? ?
1
a ?a
m
a ?a
1、若等差数列a
的首项是a，公差是d，则有?d? n
1? n m
n 1 ?
?
n?1 n?m
a ?a
??n?
n 1?1
d
?等差中项：三个数a，G，b组成的等差数列，则称G为a与b的等差中项?2G=a?b
? ??2n?p?q?2a ?a ?a
??若{a
?
}是等差数列，则?
n p q
?性质：? n
?
?
?m?n?p?q?a ?a
m n
?a ?a
p q
?若{a}是等差数列，则a、a 、a
、a 、构成公差公差kd的等差数列
? n m m?k m?2k
m?3k
?若{a}、{b}是等差数列,则{?a+?}、{?a
?
n n n n
+?b
n
}是等差数列
2、等差数列的前n项和的公式：
n(a
?a) n(n?1) d 1
S ? 1 n ?na? d? n2?(a? d)n?An2?Bn
n 2 1 2 2 1 2
（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数2n?1时，a
n?1
是项数为2n+1的等差数列的中间项
?2n?1??a?a ? ? ?
S ?
2n?1
1 2n?1
2
? 2n?1
a
n?1
（当S的下标为奇数时，要特别注意）
等差数列的前n项和的性质：
?S，S
?m 2m
?S,S ?S 成等差数列
m 3m 2m
?S
?{ n}是等差数列
? n
若等差数列{a
},{b}的前n项和为S,T
,,则an?S2n?1
n n n n
b T
n 2n?1
等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）
?a ?0 ?a ?0
?①若?1
?
?d 0
，则S
n
有最大值，当n=k时取到的最大值k满足? k
??a 0
?
?
k?1
?a ?0 ?a ?0
②若?1 ，则S
有最小值，当n=k时取到的最大值k满足? k
?d?0 n
?ak?1?0
.
3．等差数列的判定方法
定义法：若a
n
a
n?1
?d或a
a
n?1 n
?d(常数n?N?)? ?a
n
?是等差数列．
等差中项：数列?a
n
?是等差数列?2a
n
?a
n-1
a
n?1
(n?2)?2a
n?1
?a ?a
n
．
n?2
数列?a
n
数列?a
n
?是等差数列?a
n
?是等差数列?S
n
?kn?b（其中k,b是常数）。
?An2?Bn,（其中A、B是常数）。
等比数列知识点总结
定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常数称为等比数列的公比．1、通项公式及其性质
?a ?aqn?1?a
qn?m
若等比数列?a
?的首项是a
?n 1 m
，公比是q，则? a a ．
n 1 ?qn?1?
?
n,qn?m? n
a a
1 m
?a，G，b成等比数列，则称G为a与b的等比中项?G2?ab
?
? ??2n?p?q?a2?a ?a
性质：?若{a
}是等比数列，则?
n p q
??n ?m?n?p?q?a ?a
?
?
? m n
?a ?a
p q
?a、a 、a 、a 、成公比qk的等比数列
m m?k
m?2k
m?3k
2、前n项和及其性质
???na?q?1?,(q?1)
?
?
?S ??a
?
n ?1
1
1?qn
?a?aq?a?aqn?? a q ? a ??Aq ?A,?q?1?．
1 n 1 1 1 n 1 n? 1?q 1?q 1?q 1?q 1?
1 n 1 1 1 n 1 n
?S
? n?m
?S ?qn?S
n m
?S
?性质?
?
、S
n 2n
S、S
n 3n
S 成等比数列
2n
S ．
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