数列的概念与简单表示法知识点.docx

数列

一、数列的概念与简单表示法

1、 数列的概念

⑴数列的定义：

按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每个数称为该数列的项。

,a a

,

数列中每一项都和它的序号有关。数列的一般形式为 1 2

, ,a

?n

?

,?，或者

简记为{a

n

}，其中a

表示数列{a

n

}的通项。

n注：

n

①研究对象:“数”(与集合相区别)。

②首项（第1项）：数列中的排在第1位的数。第2项：数列中的排在第2位的数。

……

通项（第n项）：数列中的排在第n位的数。

a

③注意n

与{a

n

}含义的区别：

na：表示数列{a

n

n

}中的第n项。

1{a}：表示数列a

1

n

,a, ,a

?2 n

?

,?，简单记法。

④数列的项性质：

有序性 ：一个数列不仅与构成数列的数有关，而且与排列顺序有关。可重复性：数列中数可以重复出现。

补充知识：

集合中元素的性质：确定性、互异性、无序性。

例：a1、2、3、4、5、6和6、5、4、3、2、1构成同一个结合，不同的数列b1、2、2、3、5、5可以表示数列，但不能构成集合。

⑵从函数的角度研究数列：

对于任意一个数列{a

n

}，其每一项与序号都有对应的关系，见下表：

序号

序号（项数n）

1

2

a

2

3

a

3

…

n

a

n

…

a

项

1

…

…

数列可以看作一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,3，…,n｝)的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

注：1、数列可以看作特殊的函数（离散型），其图像是一系列孤立的点。

2、函数不一定是数列。

2、 数列的表示方法

⑴列表法：列出表格表示出数列的项和序号的关系

例：数列6,66,666,6666,66666,666666可以用下表表示

序号（项数）

1

2

3

4

5

6

项

6

66

666

6666

66666

666666

⑵图像法：

在平面直角坐标中，数列的图像是一系列横坐标为正整数的孤立的点（n,an）。

⑶通项公式法：用数学式子表示数列。最常用的数列表示方法。

3、 数列的通项公式：

⑴数列的第n项叫做数列的通项。

⑵如果数列{a}的第n项a

与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，

n n

那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

注：①并不是所有的数列都可以用通项公式表示

例：π小数点后每一位所构成的数列1,4,1,5,9，2,6…

π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值组成的数列3,3.1，3.14,3.142，…

②只给出一个数列的若干项，而未指明数列构成规律时，该数列的通项公式不能唯一确定。

例：数列1,4,7,10，…

通项公式可以是a

n

?3n?2

,也可以a

n

?3n?2??n?1??n?2??n?3??n?4?

③ 数列通项公式的表示方法不唯一。例：数列-1，1,-1,1,-1，…

通项公式可以是a

n

?cos(nπ),也可以是a

n

?（-1）n。

4、 数列的递推公式：

⑴递推公式：

如果已知数列?a

?的第一项（或前几项），且任何一项a

n n

与它的前一项a

（或

n?1

前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即a

?f(a

)或a

?f(a ,a )，

那么这个式子叫做数列?a

?的递推公式。

n

n n?1 n

n?1

n?2

⑵通项公式与递推公式异同点：

相同点：都可以确定一个数列，都可以求出数列的任意一项。

n不同点：通项公式可以通过代入项数n直接求出项a

n

。简单直接

递推公式需要通过一次或者多次赋值，求出需要的项an。赋值繁琐所以我们经常会研究根据递推公式求通项公式的问题。（相应专题练习）

5、 数列的前n项和：

?na

k

k?1

?a?a

1 2

?a

?n

?

叫做数列?a

?的前n项和，记作S

n

n数列的通项a 与前n项和S 的关系：

n

n

S ?a?a

n 1 2

?a

?n

?

?S (n?1)

a??1

?n S?S

?

n n?1

(n?2)

注：1、a

n

?S?S

n n?1

不是对一切正整数n都成立的，而是对于n?2的一

切正整数恒成立，因为当n?1时，a

n

?S?S S

，n n?1 0

，

无意义。

2、由前n项和S

n

求通项公式时，要分两种情况：n?1和n?2，然

后验证两种情形可否用同一式子表示。若当n?1时，a 也适合a 的表

1 n

达式，则将两种