最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案.docx

求通过x(0)?1，x(1)?2，使下列性能泛函为极值的极值曲线

x*(t)：

J??tf

t

0

(1?x2)dt

解：由题可知，始端和终端均固定，

被积函数L?1?x2，?L

?0，?L

?2x，

d??L

?2x

?x ?x dt ?x

代入欧拉方程?L?

d??L

?0，可得2x?0，即x?0

故x?c

1

?x dt ?x

其通解为：x?ct?c

1 2

代入边界条件x(0)?1，x(1)?2，求出c

1

?1，c ?1

2

极值曲线为x*(t)?t?1

已知状态的初值和终值为

x(1)?4，x(t)?4

f

式中t

f

x*(t)：

自由且t

f

1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线

J??tf[2x(t)?1x2(t)]dt

1

1

解：由题可知，L?2x?1x2，??t

2 f

2

??4，x?1??4，x?t

f

??4

欧拉方程：?L?

d?L?0

?x dt?x

横截条件：x?t

??x，x?t ????t ?，?L????xT??L? ?0

0 0 f f ?

?x?tf

??易得到dx?2 故x?2t?c

?

?

dt 1

其通解为：x?t??t2?ct?c

1 2

?x?1??1?c?c ?4

?根据横截条件可得：?x?t

?

? ?f

??t2

? f

1 2

ct ?c ?4

1f 2

??xt

?

f

?2t

f

?c?4

1

?t

解以上方程组得：?f

?5 ?t

还有一组解?f

?1

(舍去，

?c??6 ?c ?2

???1 ?1

?

?

不符合题意t 1)

f

c ?9

2

c ?1

2

将t ，

f

c，c代入J

1 2

可得J*

??5

0

(2x?

.

.

?1x2)dt?4?52 0

?

(t?3)2?

140.

3

极值轨线为x*?t??t2?6t?9

设性能泛函为

J??1(1?x2)dt

0

求在边界条件x(0)?0，x(1)自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线x*(t)。

解：由题可知，L?1?x2，x?0??0，x?1?自由

欧拉方程：?L?

d?L?0

?x dt?x

横截条件：x?t

??x，

?

?L?x，? L??0 L

?L

?x

，? L?

0 0 t

? ?x?t

f

易得到x?t??a

其通解为：x?t??at?b

? ? f

代入边界条件x?t

f

??a，x?0??0，t

1

1?

?1，求出a?0，b?0

将t ，a

f

，b代入J

可得J*

?? 1?x2

0

?dt?1

极值轨线为x*?t??02－8 设泛函

J??tfL(x,x,x.,x.

,t)dt

t0 1 2 1 2

端点A(x

10

,x ,t

20 0

)固定，端点B(x(t

1 f

),x(t

2 f

),t)可沿空间曲线

c(t

1 f

)??(t

f

),c(t

2 f

)??(t )

f

移动。试证：当泛函取极值时，横截条件为

? . . ?L . . ?L?

?[L?(??x) ?(??x) ? ?0

?? 1 ?x.

?

2 ?x.

2

? tf

?

证：根据题意可知，此题属于起点固定，末端受约束情况，由P

25

?. . ?L?

?

可 得 ，

（1）

?L?(c?x)T

??

?x.

? ?0

?? tf

由 ? ?T,

. . .

?,?

x ? (x ,x )T

1 2

. . . . . . ,

?L ?L ?L

(c?x)T?(??x

1

,??x)

2

?x.

?(

?x.

1

, )T

?x.

2

. . ?T

. . ?L

. . ?L

?

（2）

(c?x)T

?x.

?(??x)

1

?x.

1

?(??x

2

)

?x.

2

将（2）代入（1）式，得：

?

? ? . ?L ?

. ?

.?L?

,得证。

?L?(