最优化方法分析和总结.docx

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一、 填空题

?

??2 1??x

? ? ??x?

若f(x)? x x ?

?? 1??1 3?

1?，则?f(x)? ，

2

2

21 2?1 2??x

2

? ?x?

?2f(x)? .

设f连续可微且?f(x)?0，若向量d满足 ，则它是f在x处的一个下降方向。

向量(1,2,3)T关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 .

设f:Rn?R二次可微，则f在x处的牛顿方向为 .

举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： .

以下约束优化问题：

minf(x)?x

1

s.t. h(x)?x

2

?x2?1?0

1

的K-K-T条件为：

g(x)?x?x ?0

1 2

以下约束优化问题：

.

minf(x)?x2?x2

1 2

s.t. x?x ?1

1 2

的外点罚函数为（取罚参数为?） .

二、证明题（7分+8分）

设g

i

:Rn

?R,i?1,2,?m和h

1 i

:Rn

?R,i?m

1

?1,?m都是线性函数，证明下

面的约束问题：

minf(x)??n x2

k

k?1

s.t. g(x)?0,

i

i?I?{1,?m}

1

是凸规划问题。

h(x)?0,

j

j?E?{m

1

?1,?,m}

设f:R2

?R连续可微，a

i

?Rn，h

i

?R，i?1,2,?m，考察如下的约束条件问题：

minf(x)

s.t. aTx?b?0,i?I?{1,2?m}

i i 1

aTx?b ?0,i?E?{m

?1,?m}

设d是问题

i i 1

min?f(x)Td

s.t. aTd?0,i?I

i

aTd?0,i?E

i

||d||?1

的解，求证：d是f在x处的一个可行方向。

三、计算题（每小题12分）

取初始点x(0)

?(1,1)T.采用精确线性有哪些信誉好的足球投注网站的最速下降法求解下面的无约束优化问题

（迭代2步）：

minf(x)?x2?2x2

1 2

采用精确有哪些信誉好的足球投注网站的BFGS算法求解下面的无约束问题：

1

minf(x)? x2

2 1

x2

2

xx

1 2

用有效集法求解下面的二次规划问题：

minf(x)?x2?x2

2x

?4x

s.t. ?x

1

1 2 1 2

?x ?1?0

2

x ?0,x

1 2

?0.

用可行方向算法（Zoutendijk算法或FrankWolfe算法）求解下面的问题（初值设为x(0)?(0,0),计算到x(2)即可)：

minf(x)?1x2

2 1

xx

1 2

x2

2

2x

1

s.t. 3x?x ?3

1 2

x ?0,x

1 2

?0.

参考答案

一、填空题

?4x

2x

?1? ?4 2?

1.?21

2 ? ? ?

? x?4x ?3? ?2 4?

1 2

2.?f(x)Td?0

3.(2,?1,0)T

，(3,0,?1)T（答案不唯一）。

4.??2f(x)?1?f(x)

牛顿法、修正牛顿法等（写出一个即可）6.

?1???2?x

? ?0?

?L(x,?,?)??

1??? ?

x ?

x ?x2?1?0

2 1

???

? ?0?

??0,x?x

1 2

?0,?(x

1

?x)?0

2

7.F

(x)?x2

?1

?

x2

2

?1?(x?x

2 1 2

?1)2

二、证明题

证明：要证凸规划，即要证明目标函数是凸函数且可行域是凸集。

一方面，由于f二次连续可微，?2f(x)?2I正定，根据凸函数等价条件可知目标函数是凸函数。

另一方面，约束条件均为线性函数，若任意x,y?D可行域，则

iig(?x?(1??)y)??gh(?x?(1??)y)??h

i

i

j j

(x)?(1??)g

i(x)?(1??)h

i

j

(y)?0

(y)?0

i?Ii?E