数学组初高中衔接校本教材最终稿.doc

初升高衔接教材选讲

一、必会的乘法公式

【公式1】

证明：

等式成立

【例1】计算：

解：原式=

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．

【公式2】(立方和公式)

证明:

【例2】计算：（2a+b）（4a2-2ab+b2）=8a3+b3

【公式3】(立方差公式)

1．计算

（1）（3x+2y）（9x2-6xy+4y2）=

（2）（2x-3）（4x2+6xy+9）=

（3）=

（4）（a+b）（a2-ab+b2）（a-b）（a2+ab+b2）=

2．利用立方和、立方差公式进行因式分解

（1）27m3-n3=

（2）27m3-n3=

（3）x3-125=

（4）m6-n6=

【公式4】

【公式5】

【例3】计算：

（1） （2）

（3） （4）

解：（1）原式=

（2）原式=

（3）原式=

（4）原式=

【例4】已知，求的值．

解：

原式=

说明：本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．

二、因式分解

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．

公式法【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：

(1) (2)

解：(1)

(2)

说明：(1)在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了法则；(2)在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．

【例2】分解因式：

(1) (2)

解：(1)．

(2)

分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．

1．分组后能提取公因式

【例3】把分解因式．

分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样继续提取公因式．

解：

说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．

【例4】把分解因式．

分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．

解：

说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．

2．分组后能直接运用公式【例5】把分解因式．

分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是；把第三、四项作为另一组，在提出公因式后，另一个因式也是.

解：

【例6】把分解因式．

分析：先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．

解：

说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．

十字相乘法

1．型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．

因此，

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．

【例7】把下列各式因式分解：

(1) (2)

解：(1)

．

(2)

说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．

【例8】把下列各式因式分解：

(1) (2)

解：(1)

(2)

说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．

【例9】把下列各式因式分解：

(1) (2)

分析：(1)把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正