湘教版高中数学选择性必修第一册第1章数列1-3-1 1-3-2等比数列与指数函数课件.ppt

?典例1在数列{an}中,已知a1=1,an+1=3an+2,求数列{an}的通项公式.思路点拨思路一:引入参数λ,使an+1+λ=3(an+λ),则数列{an+λ}为等比数列.思路

二:通过观察递推公式的特征,直接消去常数,转化为等比数列求通项公式.解析????解法一:令an+1+λ=3(an+λ),即an+1=3an+2λ,又an+1=3an+2,∴λ=1,∴an+1+1=3(an+1).∵a1+1=2,∴数列{an+1}是以2为首项,3为公比的等比数列,∴an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1.解法二:∵an+1=3an+2,∴an=3an-1+2(n≥2),两式相减,得an+1-an=3(an-an-1)(n≥2).∵a2-a1=3a1+2-a1=2a1+2=4,∴{an+1-an}是首项为4,公比为3的等比数列,∴an+1-an=4×3n-1.∴3an+2-an=4×3n-1,∴an=2×3n-1-1.解题模板????构造法求数列的通项公式:在条件中出现an+1=kan+b时,往往构造等比

数列{an+λ},方法是把an+1+λ=k(an+λ)与an+1=kan+b对照,求出λ后再求解.?典例2在数列{an}中,已知a1=?,an+1=?an+?,求数列{an}的通项公式.思路点拨根据递推公式的特征,用待定系数法构造等比数列求解.1.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数,

那么这个数列称为等比数列,这个常数叫作等比数列的公比.2.等比数列中的每一项都不为0,因此公比q≠0.3.如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之

比都是同一个常数,那么此数列不是等比数列.1.3.1等比数列及其通项公式1.3等比数列1.3.2等比数列与指数函数1|等比数列的概念1.等比数列的通项公式an=a1qn-1涉及四个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个量,就

能求出第四个量.2.等比数列{an}的通项公式an=a1?(q≠0)可以推广为an=amqn-m(q≠0),即已知等比数列的任意两项,都可以求出数列的任何一项.2|等比数列的通项公式1.“a,G,b成等比数列”等价于“G2=ab(a,b均不为0)”,当a,b同号时,a,b的等比中

项有两个,且它们互为相反数.2.在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项

与后一项的等比中项.3|等比中项1.在等比数列{an}中,若k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则akal=aman.特别地,若m+n=2r(m,n,r

∈N+),则aman=?.2.若数列{an}是公比为q(q0)且各项均为正数的等比数列,则数列{logban}(b0且b

≠1)是公差为logbq的等差数列;若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列{?}(b0且b≠1)是公比为bd的等比数列.3.在公比为q(q≠-1)的等比数列{an}中,依次取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或

?)的等比数列.4.若{an}是公比为q的等比数列,则数列{λan}(λ≠0)是公比为q的等比数列,数列

?是公比为?的等比数列,数列{?}是公比为q2的等比数列,数列{|an|}是公比为|q|的等比数列.4|等比数列的性质5.若数列{an}是公比为q的等比数列,则在数列{an}中,每隔k(k∈N+)项取出一项,按

原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为qk+1.6.在等比数列{an}中,若m,n,p(m,n,p∈N+)成等差数列,则am,an,ap成等比数列.7.若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,则数列{anbn}与?也都是等比数列,公比分别为pq和?.1.等比数列的通项公式与指数型函数的关系(1)当q0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)=?·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n).(2)任意指数型函数f(x)=kax(k,a是常数,k≠0,a0且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2,……,f(n)=kan,……构成等比数列{kan},其首项为ka,公比为a.2.等比数列的单调性5|等比数列与指数函数a1的正负a10a10q的范围0q1q=1q10q1q=1q1{an}的单调性单调递减不具有单调性单调递增单调递增不具有单调性单调递减1.如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于一个常数,这个数列是

等比数列吗?不一定.当这