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例谈用“退”的思想设计解题教学

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肖文军

【摘要】：“问题”是数学教学的心脏。解题教学是数学教学的核心之一，是落实新课程标准的显性标志，如何提高学生解题能力是数学课堂的主要任务。本文通过具体课例说明如何采用“退”的思想，稚化问题起点，通过逐步“叠加”的方式体现数学之间的内在联系，点燃学生思维的火花，激发求知欲，提高解题能力，使得数学解题教学扎实高效。

【关键词】：问题设计“退”的思想

一、从复杂问题“退”到简单问题

复杂问题有时是简单问题的叠加，即条件不断增加构成，我反其道行之，将问题“退”到比较容易入手的问题进行分析，再逐步向复杂问题过渡。

本学期，我上八年级，教《一次函数》这个章节时，一次备课，我做题、选题时发现了这样一个问题：

問题呈现（2014四川内江）如图，已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn.△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn为__________.

问题分析：这是2014年四川内江中考题选择题的压轴题，图形复杂，计算量大，如果直接给学生做，以我校学生的基础和能力，能把题目看懂都很不错了。我考虑到这是一次函数与面积的综合题，解题思路和方法使用比较多，于是按照由复杂“退”到简单的思想，进行了如下教学设计：

1、如图1，在平面直角坐标系中，点A1在x轴上，OA1=1，过A1

作x轴的垂线交直线y=2x于点B1，求△A1B1O的面积。

2、如图2，在平面直角坐标系中，点A1在x轴上，OA1=A1A2=1，分别过点A1、A2作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2，连接A1B2、B1A2相交于点P1，求（1）点P1的坐标，（2）求△A1B1P1的面积？

设计说明：先将图形变为最基本的Rt△A1B1O的面积，将n个点变为1个点，将问题“退”到最起点（如图1）。在图1在基础上，叠加新的条件，逐步向要达成的目标过渡，为了更准确的提示学生，特别加上了求点P1的坐标这一个小问，使得问题再次被“退”到更底的台阶。

教后反思：学生在经历了1、2两个小题的探究学习后，学会了解决问题的方法。达到了克服难题恐惧心理的情感目标，可以让更多的学生收获成就感，为促进学生的进一步发展奠定了基础。

二、从一般位置“退”到特殊位置

特殊图形具有特殊的数量关系和位置关系，在解决有关动点的问题时，经常需要从特殊图形入手，利用特殊图形蕴含的数量关系和位置关系去寻找解题的思路与方法。

问题呈现：如图3，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P是边AD上的一个动点，过点P分别向对角线AC，BD作垂线，垂足分别为E、F.求PE+PF的值.

问题分析：从结论分析，这是要求点到直线的距离的和的问题，点P的位置又不是特殊的位置，学生很难直接求解。但考虑到P是动点，所以可以将点P的位置特殊化。于是按照由一般“退”到特殊的思想，进行了如下教学设计：

1、如图4，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，过点D向对角线AC，BD作垂线，垂足为G.求DG的值.

设计说明：将点P的位置“退”矩形ABCD的顶点D后，问题由两条线段的和“退”为一条线段的长，解题方法也凸显——等积法。为我们找到一般解法提供了思路，即在图3中连接P和对角线的交点O。

课堂收获：学生在经历了矩形中的问题后，化“退”为“进”提出了这样的新问题：

问题1、如图5，在□ABCD中，对角线AC⊥AB，AB=3，AD=4，点P是边AD上的一个动点，过点P分别向对角线AC，BD作垂线，垂足分别为E、F.求PE+PF的值.

问题2、如图6，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AD=4，点P是边AD上的一个动点，过点P分别向对角线AC，BD作垂线，垂足分别为E、F.求PE+PF的值.

正方形、梯形呢？还有类似的图形、结论、解法吗？留给学生课后继续拓展。

教后反思：我们将问题“退”到最基本图形、最核心的方法后，学生不仅收获了这个题目的解法，还创造性的提出了这个问题在特殊四边形的系列化问题，产生一个个既类似又有区别的问题，将之作为师生讲练的载体和思维双向交流、演绎的基础，通过这一“退”，即复习了知识点又提高了学生的思维能力。

三、用“退”的思想设计解题教学的感悟

1、积累解题方法

“退”的思想，是一种思考解题教学设计的方法，什么样的问题值得“退”。“退”到什么程度，能否体现方法。是否具有推广意义。都是今后在教学实践中值得继续思考的问题。像问题2这样，一种方法