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数学建模之淋雨模型

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班级：自动化083班

学号：************

附录（关键字）：

问题重述

问题分析

模型假设

模型建立—6

模型求解—8

模型结果分析—8

2

问题：要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，

试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量就越少。

将人体简化成一个长方体，搞a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，

厚c=0.2m。设跑步距离d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s,雨速

u=4m/s，降雨量w=2cm/h,记得跑步速度为v，按以下步骤进行

讨论：

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大的速度跑步，

估计跑完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体

的夹角为x，如图一，建立总淋雨量与速度v以及参数a、b、c、

d、u、w、x之间关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算

x=0，x=30时的总淋雨量

（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与

人体的夹角为y,如图2，建立总淋雨量与速度v以及参数a、d、

c、d、u、w、y之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，

计算y=30时的总淋雨量。

(4)以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）进行作图，并

解释结果的实际意义。

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变

化。

3

解：

问题分析：在我们的日常生活中，下雨天气是不可避免的，当

我们遇到此类的天气且身上没有携带避雨的雨具时，是否快跑

就会减少身上的淋雨量呢？就此问题我们做一个模型假设查探

我们的问题。

模型假设：将人体简化成一个长方体，高a=1.5m,宽b=0.5m.厚

c=0.2m；设跑步的距离为1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，

雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h

模型建立：

模型一:（1）题中所述不考虑雨的方向，假设降雨淋遍全身，

此时的雨速也是均匀下落，由假设人体为长方体可知，该人体

的表面积s=2ab+2ac+bc，因为跑步距离d=1000m，所以该人在

雨中的淋雨时间t=d/vm，在该时间内的降雨量

w=2cm/h=(0.0001/18)m/s

所以，总淋雨量Q=s*t*w

模型二：（2）《1》当雨迎面吹来时该人只有头顶和迎面淋雨，

设头顶部淋雨量为Q1，由图一可知淋雨面积s1=bc,淋雨的时间

4

t1=d/v，淋雨量（降雨方向与雨速方向应在一条线上）为w*cosx,

由此可知淋雨总量Q1=s1*t1*w*cosx

《2》由图一可知，雨速在水平方向