基本不等式导学案.pdfVIP

a+b

3.4基本不等式：ab≤

2

一．【学习目标】

1.理解基本不等式的内容及证明过程；

2.能够运用基本不等式解决简单的最值问题。

二．【重点难点】

1、重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并且从不同的角度探索基本不

等式的证明过程；

2、难点：利用基本不等式求最大值和最小值。

三．【学习新知】

a+b

基本不等式ab≤的几何背景：

2

探究：如图是在召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是

根据古代数学家的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一

个风车，代表热情好客。

【探究】

a+b

问题一：怎么理解ab≤

2

（1）这会标中含有怎样的几何图形？你能在这个图案中找出一些相

等关系或不等关系吗？

（2）我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个直角三角形的两

条直角边长为a,b，它们的面积之间存在着怎样的大小关系？如何用a,b表示？

（3）中间的正方形是怎样产生的？能吗？

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结论：一般地，如果a,b∈R，我们有a+b≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.

a0b0bab

（4）如果，，我们用a分别代替、，可得到什么不等关系？

、

a+b

若a0，b0，则a+b≥2ab，通常我们把上式写作：ab≤2(a0,b0)

当且仅当a=b时，取等号，这个不等式就叫做基本不等式。

a+b

问题二：怎样证明基本不等式ab≤

2

a+b

证明：要证≥ab（1）

2

只要证a+b≥（2）

（3）

要证（2），只要证a+b−