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2023年清华大学丘成桐数学英才班测试数学试题

2023年12月24日

1.设是正整数,整系数多项式满足.整系数多项式,,满足和,其中是一个不整除的素数.求证:的非常数项的系数均为的倍数.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】根据数论性质即可求证.

【详解】由和,以及可得

故,

又不整除,的最大公因数为1,所以,

故的非常数项的系数均为的倍数

2已知复数,,…,,,,…,,满足,,…,互不相同,,,…,互不相同.已知对任意正整数,均有.求证:,.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】利用拉格朗日插值公式即可证明.

【详解】任取一个,由于各不相同,因此至多存在一个,

若对任意,.因此中至少有一个不与,相等.

由插值公式,存在一个至多次的多项式:

满足

从而,矛盾,证毕.

3.设为全体由和1构成的元数组的集合,其中为偶数.称与正交,若.记为可以从中选出元数组个数的最大值,满足选出的数组两两正交.求和的值.

【答案】,

【解析】

【分析】类比向量垂直条件理解两个元数组正交的概念,的所有坐标都是1,前个是1,后为,后面等也是含个是1,个,但顺序不同.将符合要求的进行枚举排除.

【详解】证明:显然.设选出的最大的数组集合为,不妨设,

(前个是1).可以这么设是因为同时改变任意一个坐标的正负不影响结果,交换任意两个坐标也不影响结果.枚举已知中没有同时与和正交的向量,从而.

若,则中的向量线性相关,因此存在不全为0的,不妨设.则,矛盾.从而.再注意到,,,……两两相交,因此.

4.对有理数,若且,定义.求最大的正实数,使得存在正常数满足对所有有理数成立.

【答案】

【解析】

【分析】先证明,再分别对和两种情况进行讨论,从而得到答案.

【详解】证明:,考虑

若,则

若,分两组情况讨论:

(1),则

(2)

从而总成立

因此,

再取

综上,.

5.设,满足.

(1)证明:若,则当时,.

(2)若存在满足,证明.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)证明过程见解析

【解析】

【分析】(1)构造,求导后得到其单调性,再构造,,得到,从而证明出结论;

(2)在(1)的基础上得到结论.

【小问1详解】

令,

则,

由于,,

故,

即,

又,,,故,

由于在上单调递减,故,

所以恒成立,

所以在上单调递增,

设,,

则,

令,,

则在上恒成立,

故在上单调递减,

故,故,

所以在上单调递减,

由于,,故,

即,

故,即;

【小问2详解】

存在满足,

即在上有根,

由(1)可得与等号成立条件均为

故若存在满足,则有.

【点睛】构造函数证明不等式或比较大小,是高考常考题目,需要将不等式变形为同种结构或常见的不等式,如或,再构造出适当的函数进行求解.

6.设是正实数数列.

(1)若收敛,求证:存在严格递增的无界正实数数列满足收敛.

(2)若收敛,是否一定存在严格递增的正整数数列,满足收敛,且?

【答案】(1)证明过程见解析

(2)存在,答案见解析

【解析】

【分析】(1)利用进行放缩即可得证.

(2)先退一步,考虑极限等于的情况,然后将所有数列并在一起,就可以构造出极限等于1的情况.

【小问1详解】

设,则严格递减并趋近于,.取定,记,?

那么,

所以收敛.

【小问2详解】

结论是肯定的.

证明:首先,对于任意的正整数,存在严格递增的正整数数列,使得,例如,我们可以取充分大的正整数,然后让.

这个时候,设,则收敛,我们要构造数列,使得收敛,且.

?因为,,

所以对任意的,有,记.

?取正整数,使得是中最小,

那么?

?所以,

?这表明对任意的,都有收敛.

显然,关于的序列是严格递增的正整数数列.

?现在记,然后对每个正整数,取正整数,使得.?

并规定

那么,对任意正整数,都有.

现在定义集合,设,

由于每个都是由正整数构成的无限集,

所以也是由正整数构成的无限集,

?这意味着中元素可以排成一个递增的正整数数列.

??此时,.

?所以收敛.

又因为,,

故,

?而,所以,

这里不等式中的又是任意的,所以.

这就表明.

【点睛】关键点睛:关键是要先考虑极限等于时的情形,然后合并所有数列,从而即可顺利构造满足题意的数列.

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