中考《圆》有关的证明和计算.docx

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（一 对 一）辅导专题讲解

备课时间： 授课时间：

年级：课题：

初三

圆的证明与计算

学生姓名： 授课老师：

教学目标

重点难点

对所学过的与几何有关的性质、定理要熟记，并通过多做题达到熟能生巧

会进行圆的有关计算与证明对一些解题方法的理解与运用

《圆的证明与计算》专题讲解

圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。

圆的有关证明

一、圆中的重要定理:

圆的定义:主要是用来证明四点共圆.

垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.

三者之间的关系定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮:主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.

(6)切线的判定定理:主要是用来证明直线是圆的切线.

教 (7)切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等.

2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在

学 圆中的证明和计算中经常用到.

内 二、考题形式分析：

主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面

容 积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。

知识点一：判定切线的方法：

若切点明确，则“连半径，证垂直”。

常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

若切点不明确，则“作垂直，证半径”。

常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；

总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：

方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连精品文档

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半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.

例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交

OD延长线于F.

求证：EF与⊙O相切.

例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.

证明一：作直径AE，连结EC.

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAB=∠DAC.

∵PA=PD，

∴∠2=∠1+∠DAC.

∵∠2=∠B+∠DAB，

∴∠1=∠B.

又∵∠B=∠E，

∴∠1=∠E

∵AE是⊙O的直径，

∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.

∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切.

证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.

∵AD是∠BAC的平分线，

∴BE=C⌒E，⌒

∴OE⊥BC.

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∴∠E+∠BDE=900.

∵OA=OE，

∴∠E=∠1.

∵PA=PD，

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∴∠PAD=∠PDA.

又∵∠PDA=∠BDE,

∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切

说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M

求证：DM与⊙O相切.

例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.

求证：DC是⊙O的切线

例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.

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例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.

求证：CE与△CFG的外接圆相切.

分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.

证明：取FG中点O，连结OC.

∵ABCD是正方形，

∴BC⊥CD，△CFG是Rt△

∵O是FG的中点，

∴O是Rt△CFG的外心.

∵OC=OG，

∴∠3=∠G，

∵AD∥BC，

∴∠G=∠4.

∵AD=CD，DE=DE，

∠ADE=∠CDE=450，

∴△ADE≌△CDE（SAS）

∴∠4=∠1，∠1=∠3.

∵∠2+∠3=900,

∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.

∴CE与△CFG的外接圆相切

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