2023年全国中学生数学能力测评（终评）高三年级组试题（解析版）.docxVIP

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2023年全国中学生数学能力测评（终评）试题

高三年级组

（试题总分：150分答题时间：120分钟）

★温馨提示：请将答案写在答题纸上．

基础能力部分（共60分，每题5分）

1.一组数据为3，5，1，6，8，2，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据百分位数的计算方法，求得，求得二项展开式的通项为，即可求解.

【详解】将这组数据从小到大排成一列为：，

由，所以这组数据的四分位数为，所以二项式为，

则二项展开式的通项为，

令，解得，所以展开式的常数项为.

故答案为：.

2.已知锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，且．若，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范围.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

所以，

整理得：，

因为，

所以，

由正弦定理得，

又因为，

所以，

因为为锐角三角形，所以为锐角，

所以，即，

由，解得：，

因为，

所以，

解得

故答案为：

3.预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场快速增长．某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程

1

2

3

4

按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是__________万元．（结果用e表示）

【答案】

【解析】

【分析】令，由样本中心在回归方程上求得，再将代入求值即可.

【详解】由题设，令，则，，

所以，则，

所以代入回归方程，则，可得万元.

故答案为：

4.在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据已知条件易得为等边三角形，为等腰三角形，进而确定外接圆圆心及半径，再证面面，利用面面垂直模型求外接球半径，即可求面积.

【详解】

由，，由余弦定理可得，

又，所以为等边三角形，令其外接圆圆心为，

等腰的外接圆半径，令其外接圆圆心为，在射线上，

则是中点，连接，且，，又，

所以，则，又，

，面，则面，面，

所以面面，若是三棱锥的外接球的球心，如上图，

易知为矩形，故，而，

所以外接球半径为，该三棱锥的外接球的表面积为.

故答案为：

5.设定义在R上的可导函数与的导函数分别为和．若，与均为偶函数，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据已知得，由偶函数得、且，进而有，则，应用累加求.

【详解】由题设，则①，

为偶函数，则，即，则②，

令得，则，

为偶函数，即，则③，

由①，结合②③，即④，

由①④，，则

，，……

,

累加得，故.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：由偶函数及复合函数的导数得、、，进而得到，最后有为关键.

6.设函数是公差为的等差数列，，则______．

【答案】

【解析】

【详解】由已知，是公差为的等差数列，则，由和差化积公式得，

则，

比较两边等式得，且，解得，

所以.

7.某班一天上午有语文、数学、政治、英语、历史5节课，现要安排该班上午的课程表，要求历史课不排在第一节，语文课和数学课相邻，不同的排法总数是__________．

【答案】

【解析】

【分析】应用排列、组合数，结合捆绑、插空法及分步原理求不同的排法总数.

【详解】将语文课和数学课作排列有种，

再把语文课和数学课作为整体，与除历史课外的其它2节课作全排列有种，

由上得到4个空，最后把历史课插入后3个空有种，

综上，共有种.

故答案为：

8.已知，，，则这三个数的大小关系为__________．（用“”连接）

【答案】

【解析】

【分析】构造且，应用导数研究单调性比较大小，通过与的图象比较与的大小，进而得到大小，即可得答案.

【详解】由，，令且，则，

所以在上递减，则，即，

所以，

由，，只需比较与的大小，

根据与，相交于两点，图象如下，

由，结合图知，故，

综上，

故答案为：

9.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店这三天售出的商品最少有_______种．

【答案】29

【解析】

【分析】由第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，前两天都售出的商品有3种，可以得到第一天售出但第二天未售出的商品种数，同理得到第二天售出但第一天未售出的商品种数，进而得到前两天共售出的商品的种数，根据第三天售出但第二天未售出的商品种数，当这些商品都在第一天售或第二天售出时，三天售