高等流体力学例题复位势流量环量.pdfVIP

例1.已知复位势为

(1)分析流动由哪些基本势流组成；(2)圆周x2＋y2＝2上的速度环量Г和流量Q。

【解】：

(1)

对比点源（汇），点涡，偶极子的复势，可以看出此流动由下列简单势流叠加而成：

位于原点的偶极子，其强度M＝2π，方向角（由点汇指向点源）β＝π；

在点（0，1）和点（0，－1）各有一个点源和点涡，点源强度Q＝2π，点涡强度Г＝

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2π，方向为顺时针方向；

在点（0，2）和点（0，－2）各有一个点源和点涡，点源强度Q＝4π，点涡强

2

度Г＝6π，方向为逆时针方向。

2

22

(2)圆周x＋y＝2内部区域有两个同向涡点（强度为Г），还有两个点源（强度为Q），

11

22

因此在圆周x＋y＝2上的速度环量和流量分别为

；

例2.势流由一个速度为V∞，方向与x轴正向一致的均匀流和一个位于坐标原点的强度为Q

的电源叠加而成，试求经过驻点的流线方程，并绘出该流线的大致形状。

【解】：

驻点就是速度为零的点，令

得

可见，驻点的位置为，或，

经过驻点的流线为

当θ＝π/2时，

当θ＝0时，流线形状如图所示。

例3.求如图所示的势流的流函数以及经过驻点的流线方程。已知：V∞＝5，Q＝20π，a＝2。

【解】：

令：，，则

下面求驻点位置：

所以；，即，

当x＝－2，y＝0（驻点）时，θ＝π＋π/4，θ＝π－π/4，过驻点流线方程为

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例4.已知平面流场的速度分布为u＝－x－y，v＝y，试问（1）流场是否有旋？（2）沿如图所

示的曲线ABCD的速度环量Г时多少？

【解】：

可见，流场内处处有旋，涡量为常数。使用

ABCD

斯托克斯定理，可以使曲线的速度环量的计算变得简单

当然也可以由速度的线积分直接计算Г。速度为线性分布，矩形每条边的平均速度等于两

端点的速度之和的一半，故

Г＝－1×2＋1/2×1－（－2）×4－1/2×1＝2

答案虽然一样，但计算要复杂得多。

例5.已知速度分布为，，

试证流线和涡线平行，并求涡量与速度之间的数量关系，式中k，C为常数。

【解】：；

涡线方程为

可以看出，涡线方程与流线方程完全相同。

例6.设不可压缩流体平面运动的流线方程在极坐标下的形式是θ=θ(r)，速度只是r的函

数，试证涡量为

【解】：不可压缩流体运动的连续性方程为

由于速度与θ无关，上式左边第二项为零，因此

流线的方程式为，

涡量的表达式是

上式右边的第二项为零，因此