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中考数学中的中点问题

几何证明题中，经常会出现中点的条件，而与中点有关的性质定理包括：三角形的中线、三角形的中位线、等腰三角形三线合一、直角三角形斜边的中线。掌握这些性质定理的特征，结合已知条件选择适当的辅助线，有助于我们打开思路。

三角形的中线

技巧：作倍长中线，得全等三角形。

例 AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC2AD

中位线定理

技巧：直接找线段的中点，连接中点，得线段之间的数量及位置关系。

例 在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是三角形ABC的高，点M是边BC的中点，

1

求证：DM＝

2AB。

三线合一

技巧：当一条线段是高线、中线、角平分线中的任意两条时，构造三角形，得等腰三角形。

例 在三角形ABC中，AD是△ABC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E

是边BC的中点，如果AB＝6，AC＝10，则DE的长为 。

直角三角形斜边的中线

技巧：连接直角顶点和斜边中点，得线段的数量关系及角的等量关系。

例 在△ABC中，AB＝AC，BD平分角ABC，过点D作DE垂直于BD交BC于点E，求

1

证：CD＝2BE。

例题 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O且AC＝BD，M、N分别为

AD、BC的中点，连接MN交AC、BD于点E、F。求证：OE＝OF。

解析：取AB的中点G，连接MG、NG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第

1

三边的一半可得MG∥BD，MG?1BD，NG∥AC，NG? AC，然后求出 ＝ ，根

MG NG

2 2

据等边对等角可得∠GMN＝∠GNM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠GMN＝∠OFE，

∠GNM＝∠OEF，从而得到∠OEF＝∠OFE，再根据等角对等边即可得证。答案：如图，取AB的中点G，连接MG、NG，

∵M、N分别为AD、BC的中点，

∴MG∥BD，MG?1BD，NG∥AC，NG?1AC

2 2

∴∠GMN＝∠OFE，∠GNM＝∠OEF，又∵AC＝BD，

∴MG＝NG，

∴∠GMN＝∠GNM，

∴∠OEF＝∠OFE，

∴OE＝OF。

点拨：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行线的性质，等角对等边的性质，作出辅助线并利用好条件“AC＝BD”是解题的关键。

在复杂的几何图形中，遇到中点条件，就要联想与中点有关的性质定理，结合已知和求证，尝试作出辅助线，构造新的图形，寻找解题思路。

例题 如图所示，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE＝

90°，点B、E、F按逆时针顺序），P为DE的中点，连接PC、PF。

如图（1），E点在边BC上，则线段PC、PF的数量关系为 ，位置关系为 。

如图（2），将△BEF绕B点顺时针旋转α°（0°＜α＜45°），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论并证明。

解析：（1）由∠BFE＝90°，点P为DE的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PF＝PD＝PE，PC＝PD＝PE，则PC＝PF，又∠FPE＝2∠FDP，∠CPE＝2∠PDC，得到∠FPC＝2∠FDC＝90°，所以PC＝PF，PC∠PF。

（2）延长FP至G使PG＝PF，连DG，GC，FC，延长EF交BD于N，易得

∠PDG∠∠PEF，得DG＝EF＝BF，得∠PEF＝∠PDG，EN∠DG，可得∠FBC＝∠GDC，证得∠BFC∠∠DGC，则FC＝CG，∠BCF＝∠DCG。得∠FCG＝∠BCD＝90°。即有PC∠PF，PF＝PC。

解答：（1）连接DF，

∵△BFE为等腰直角三角形，且E在BC上，

∴B，F，D在同一直线上，

∠∠BFE＝90°，点P为DE的中点

∠PF＝PD＝PE，

同理可得PC＝PD＝PE，

∠PC＝PF，

又∠∠FPE＝2∠FDP，∠CPE＝2∠PDC，

∠∠FPC＝2∠FDC＝90°，

所以PC＝PF，PC∠PF。

（2）PC∠PF，PF＝PC。理由如下：

延长FP至G使PG＝PF，连DG，GC，FC，延长EF交BD于N，如图，

∠点P为DE的中点，

∠∠PDG∠∠PEF，

∠DG＝EF＝BF。

∠∠PEF＝∠PDG，

∠EN∠DG，

∠∠BNE＝∠BDG＝45°＋∠CDG＝90°－∠NBF＝90°－（45°－∠FBC）

∠∠FBC＝∠GDC，

∠∠BFC∠∠DGC，

∠FC＝CG，∠BCF＝∠DCG。

∠∠FCG＝∠BCD＝90°

∠∠FCG为等腰Rt∠，

∠PF