2023年清华大学丘成桐数学英才班测试数学试题（原卷版）.docxVIP

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2023年清华大学丘成桐数学英才班测试数学试题

2023年12月24日

1.设是正整数，整系数多项式满足．整系数多项式，，满足和，其中是一个不整除素数．求证：的非常数项的系数均为的倍数．

2.已知复数，，…，，，，…，，满足，，…，互不相同，，，…，互不相同．已知对任意正整数，均有．求证：，．

3.设为全体由和1构成的元数组的集合，其中为偶数．称与正交，若．记为可以从中选出元数组个数的最大值，满足选出的数组两两正交．求和的值．

4.对有理数，若且，定义．求最大的正实数，使得存在正常数满足对所有有理数成立．

5设，满足．

（1）证明：若，则当时，．

（2）若存满足，证明．

6.设正实数数列．

（1）若收敛，求证：存在严格递增无界正实数数列满足收敛．

（2）若收敛，是否一定存在严格递增的正整数数列，满足收敛，且？