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《高等数学Ⅰ》课程教学大纲

(机电、控制、计算机、物理等本科各专业适用)

参考学时：164学分11课程编号1001301

一、本课程的性质和任务

《高等数学》课程是高等学校工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培

养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。

通过本课程的学习，要使学生获得：

1．一元函数微积分学

2．多元函数微积分学

3．无穷级数

4．常微分方程

等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能,为学习后继课程和进一步获取知识奠定

必要的数学基础。

在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力，逻辑推理能力

空间想象能力和自学能力，还要特别注重培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学

知识分析问题和解决问题的能力。

二、本课程的基本内容

(一)函数、极限、连续

1．函数

函数的定义，函数的特性(有界性、单调性、奇偶性和周期性)，反函数，复合函数，

基本初等函数，初等函数。

2．极限

数列极限的ε—N定义，函数极限的ε—δ定义和ε—X定义，左右极限，无穷小与无

穷大，无穷小与函数极限的关系，极限四则运算法则，复合函数极限，极限存在准则，两个

重要极限，无穷小的比较，等价无穷小的代换。

3．函数连续性

函数连续定义，间断点及其分类，连续函数四则运算,反函数的连续性，复合函数的连

续性，基本初等函数与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的最大最小值定理及介值定理。

(二)一元函数微分学

1．导数与微分

导数定义、几何意义、平面曲线的切线和法线，可导性与连续性之间的关系。初等函数

微分法(求导四则运算，反函数的导数，复合函数的导数，基本导数公式)。高阶导数，隐函

数的导数，对数求导法，参量函数求导，微分的定义、几何意义、运算法则。一阶微分的形

式不变性。

2．中值定理与导数应用

Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理，Taylor定理。L’Hospital法则。函数和

曲线性态的研究(单调性判定，极值及其求法，最值问题，凹凸与拐点，图形的描绘)。弧微

分公式，曲率及其计算。

(三)一元函数积分学

1．不定积分

原函数与不定积分的定义，不定积分的性质、基本积分公式。换元积分法，分部积分法，

特殊函数积分(有理函数，三角函数有理式、简单无理函数)。

2．定积分

定积分定义、性质。变上限定积分函数及其求导定理，Newton—Leibnitz公式。定积

分的换元法与分部积分法。两种广义积分。

3．定积分应用

定积分微元法。定积分在几何上的应用(平面图形的面积、平面曲线的孤长、平行截面

面积已知的立体的体积，旋转体的体积)。定积分在物理方面的应用(变力作功，静压力，引

力等)。

(四)多元函数微分学

1．多元函数

多元函数的定义，区域，二元函数的几何表示，二元函数的极限及连续性，有界闭区域

上连续函数的性质。

2．偏导数与全微分

偏导数的定义，二元函数偏导数的几何意义，高阶偏导数，求偏导数与次序无关的条件。

全微分的定义及可微的条件。多元复合函数求导法则。隐函数的求导公式。方向导数与梯度。

3．偏导数的应用

空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线。多元函数极值及其求法，最值问

题，条件极值与Lagrange乘数法。

(五)多元函数积分学

1．重积分

(1)二重积分：二重积分的定义、性质、计算方法(直角坐标系和极坐标系)。

(2)三重积分：三重积分的定义、性质、计算方法(直角坐标系，柱坐标系，球坐标系)。

(3)重积分的应用：立体的体积、曲面的面积、质量、重心、转动惯量、引力等。

2．曲线积分与曲面积分

(1)曲线积分：两类曲线积分的定义、性质、计算方法及应用举例。

(2)曲面积分：两类曲面积分的定义、性质、计算方法及应用举例。

3．各类积分的联系：Green公式，Gauss公式，Stokes公式。平面曲线积分与路径无

关的条件，