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中考最值问题大全

垂线段最短在最值问题中的应用

模型一 点到直线的所有线段中，垂线段最短

点P在直线l外，过点P作l的垂线PH，垂足为H，则点P到直线l的最短距离为线段PH的长，即“垂线段最短”．

1、如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段

OM的取值范围是 。

2、如图，在锐角△ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，

M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值是 ．

如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3 2，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ的最小值为 ．

模型二“胡不归”问题

基本模型：两定一动，动点在定直线上

问题：点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，P为直线l上一动点，要使 2AP＋BP

最小．

解决：过点A作∠NAP＝45°，过点P作PE⊥AN，在直角三角形中将 2AP转化为PE，使得

2AP＋BP＝PE＋BP，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求BF的长度．

此类题的解题步骤：第一步：以系数不为1的线段的定端点为顶点作一个角，使其正弦值等于此线段的系数(注意题目中有无特殊角)；

第二步：过动点作第一步中角的边的垂线，构造直角三角形；第三步：根据两点之间线段最短，将“折”变“直”，再利用

“垂线段最短”找到最小值的位置．

如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，边长为3，P是对角线

BD上的一个动点，则 2BP＋PC的最小值是( )A. 2 B. 2 C.3 D. 2

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如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当 2CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

6、如图6－2－4，二次函数y＝ax2＋2ax＋4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，tan∠CBO＝2．⑴此二次函数的解析式为：

;

⑵动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针方向旋转，到与直线AB重合时终止运动，直线l与线段BC交于点D，P是线段AD的中点．

①直接写出点P所经过的路线长 .

②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF的度数；若变化，请说明理由．

③在②的条件下，连接EF，求EF的最小值．

如图6－2－5，等边△ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2＝y，则y与x的函数图象大致是（）

如图6－2－6，O为原点，每个小方格的边长为1个单位长度，A、B是第一象限内横、纵坐标均为整数的两点，且OA＝OB＝ 2．

⑴则A、B两点的坐标分别为 、 ；

⑵画出线段AB绕点O旋转一周所形成的图形，并求出其面积（结果保留π）．

9．如图6－2－7①和6－2－7②，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC＝ 2

探究：如图6－2－7①，AH⊥BC于点H，AH＝ ,AC＝ ，△ABC的面积S△ABC＝ ．

拓展如图6－2－7②，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n（当点D与A重合时，我们认为S△ABD＝0）

△ABD △CBD⑴用x，m或n的代数式表示S 及

△ABD △CBD

⑵求（m＋n）与x的函数关系式，并求（m＋n）的最大值及最小值；

⑶对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．

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对称性质在最值问题中的应用模型一两点一线

类型1异侧和最小值问题

问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．问题解决：

结论：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．类型2同侧和最小值问题

问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．问题解决：

结论：将两定点同侧转化为异侧问题，PA＋PB最小值为AB′．类型3同侧差最小值问题