中考数学专题大讲堂第三讲对辅助圆的思考及探究资料.docx

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对辅助圆的思考及探究锡滨-祝荣耀

在几何证明中，困难的并不在于题目，而在于辅助线.在初二学习全等系列的知识点过程中，我们带着学生学习了很多种的辅助线，比如倍长中线、截长补短等.而在学习完圆之后，我们又遇到了新的问题，如做弦的垂线，连接半径，连接直径等.这些的辅助线对于中档的学生都是可以解决的，但我们有没有遇到作出一个圆的辅助线？这也是今天要讲的专题

--辅助圆.

“辅助圆”通常活跃于各校模拟试题，因难度系数大，学生不易接受，所以得分率都一很直低.因其考点新颖，有创新又不失难度，所以在近几年的江苏中考中也开始陆续出现了关于“辅助圆”的辅助线问题.

那么下面我就来对“辅助圆”问题说说自己的一些看.法

—线段最值出现“辅助圆”的情况在我总结来看无外乎就是线段最值、存在唯一点、点的运.动等那下面我就按照如下几点来探究“辅助圆”出现的一般情况.

—线段最值

线段最值分类相对较多，我们单独来看看什么时候需要我们作出相对的辅助圆的情况.Ⅰ．折叠中的线段最值

1．（2019年成都中考）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，

N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A￠MN，连接A￠C，则A￠C

长度的最小值是 ．

〖分析〗△AMN沿MN所在直线翻折过程中，始终都保持着MA=MA’，即A点的运动轨迹满足于圆的基本概念，则A点的运动轨迹是以M为圆心，MA为半径的一个圆，则A￠C

的最小值即转化到点C到⊙M的上的最小值问题，这时就可以得到A￠C最小值是CM—半径，求出CM的长即可，如下图．

2．（2019年无锡惠山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D为BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点，将△DBE沿DE折叠到△DB￠E的位置，连接AB￠，则线段AB￠的最小值为 ．

〖分析〗△DBE沿DE折叠过程中，与上题一样，始终满足于DB=DB￠，与1相似，即作出辅助圆⊙D，以D为圆心，DB为半径的圆．A为圆外一点，求AB’的最小值即用AD—半径即可，如下图．

Ⅱ．圆轨迹中的线段最值

3．（2019年无锡惠山区一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以A（4，3）为圆心，

1为半径作圆．P点为圆上一动点，连结OP．点B为OP的中点，点C坐标为（2，0），求BC的取值范围 ．

〖分析〗点P的运动轨迹是圆，B为OP中点，随着P的运动而运动，则根据“瓜豆原理”，

B的运动轨迹也是一个圆．我们需要确定的是B所在圆的圆心及半径，则就可以解出此题．为

1

确定圆心，则连接OA，取OA中点Q．连接BQ，BQ=

2

AP=1

2

，则B的运动轨迹是以Q

1

为圆心， 为半径的圆．再求出CB的最大和最小值=CQ±半径即可．（如下图）

2

4．（2019年无锡外国语中学一模）如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心，

OA长为半径作圆O．点M在圆O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使

∠MBC=90°，M．B．C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围是 ．

〖分析〗点M的运动轨迹是圆，点C是由BM旋转90°得出，则根据“瓜豆原理”初步确定点C的运动轨迹也是一个圆．我们需要确定的是B所在圆的圆心及半径，则就可以解出

此题．为确定圆心，连接OM，将OM也绕着点B旋转90°，确定O￠，连接O￠C．易证

△BOM≌△BO￠C，得出OM=O￠C=1，则可得出点C的运动轨迹是以 O￠为圆心，

1为半径的圆．再求出AC的最大和最小值=AO￠±半径即可．（如下图）

Ⅲ．直角三角形中的辅助圆

（2019年江阴校级一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC

＝2，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为 ．

〖分析〗因为∠APB=90°，由90°所对的弦是直径得出，构造⊙O．以AB中点O为圆心，1为半径作圆，则P是在⊙O上运动，确定CP的最小值为OC—半径即可．（如下图）

（2019年无锡天一中学二模）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形

的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．

〖分析〗因为AE=DF，易得△ABE≌△DCF、△AGD≌△CGD，则∠